Cálculo Ejemplos

$0 = - x^{3} + y^{3} - x^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (0) = \frac{d}{d x} (- x^{3} + y^{3} - x^{2})$

Paso 2

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{3} + y^{3} - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 3.2.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 3.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - (2 x)$

Paso 3.4.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 x$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$0 = - 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 x$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 x = 0$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 x = 0$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Suma $3 x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} y' - 2 x = 3 x^{2}$

Paso 5.2.2

Suma $2 x$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 2 x$

Paso 5.3

Divide cada término en $3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 2 x$ por $3 y^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 2 x$ por $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2}} + \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2}} + \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2}} + \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2}} + \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2}} + \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2}} + \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Paso 5.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{2 x}{3 y^{2}}$