Cálculo Ejemplos

$f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 0.5 \cdot x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- 0.5 \cdot x^{4}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 0.5 \cdot x^{4}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 0.5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 0.5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $- 0.5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = - 0.5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = - 0.5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $4$ por $- 0.5$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 3 (2 x)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 6 x$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 x^{3} + 6 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x)$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x)$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6 \cdot 1$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 6 x^{2} + 6$ .

$- 6 x^{2} + 6$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 6 x^{2} + 6 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- 6 x^{2} + 6 = 0$

Paso 2.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$- 6 x^{2} = - 6$

Paso 2.3

Divide cada término en $- 6 x^{2} = - 6$ por $- 6$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $- 6 x^{2} = - 6$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 6}{- 6}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $- 6$ por $- 6$ .

$x^{2} = 1$

Paso 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 2.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 2.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 2.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 2.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $1$ en $f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = - 0.5 \cdot {(1)}^{4} + 3 {(1)}^{2}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = - 0.5 \cdot 1 + 3 {(1)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $- 0.5$ por $1$ .

$f (1) = - 0.5 + 3 {(1)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = - 0.5 + 3 \cdot 1$

Paso 3.1.2.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (1) = - 0.5 + 3$

Paso 3.1.2.2

Suma $- 0.5$ y $3$ .

$f (1) = 2.5$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $2.5$ .

$2.5$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $1$ en $f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ es $(1, 2.5)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(1, 2.5)$

Paso 3.3

Sustituye $- 1$ en $f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = - 0.5 \cdot {(- 1)}^{4} + 3 {(- 1)}^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- 1) = - 0.5 \cdot 1 + 3 {(- 1)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Multiplica $- 0.5$ por $1$ .

$f (- 1) = - 0.5 + 3 {(- 1)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = - 0.5 + 3 \cdot 1$

Paso 3.3.2.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (- 1) = - 0.5 + 3$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 0.5$ y $3$ .

$f (- 1) = 2.5$

Paso 3.3.2.3

La respuesta final es $2.5$ .

$2.5$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 1$ en $f (x) = - 0.5 \cdot x^{4} + 3 x^{2}$ es $(- 1, 2.5)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 1, 2.5)$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(1, 2.5), (- 1, 2.5)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.1$ en la expresión.

$f'' (- 1.1) = - 6 {(- 1.1)}^{2} + 6$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 6 \cdot 1.21 + 6$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 6$ por $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.26 + 6$

Paso 5.2.2

Suma $- 7.26$ y $6$ .

$f'' (- 1.1) = - 1.26$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 1.26$ .

$- 1.26$

Paso 5.3

En $- 1.1$ , la segunda derivada es $- 1.26$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 1)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 1)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = - 6 {(0)}^{2} + 6$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = - 6 \cdot 0 + 6$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 6$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 6$

Paso 6.2.2

Suma $0$ y $6$ .

$f'' (0) = 6$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $6$ .

$6$

Paso 6.3

En $0$ , la segunda derivada es $6$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 1, 1)$ .

Incremento en $(- 1, 1)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.1$ en la expresión.

$f'' (1.1) = - 6 {(1.1)}^{2} + 6$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.1) = - 6 \cdot 1.21 + 6$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 6$ por $1.21$ .

$f'' (1.1) = - 7.26 + 6$

Paso 7.2.2

Suma $- 7.26$ y $6$ .

$f'' (1.1) = - 1.26$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 1.26$ .

$- 1.26$

Paso 7.3

En $1.1$ , la segunda derivada es $- 1.26$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(1, \infty)$ .

Decrecimiento en $(1, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, 2.5), (1, 2.5)$ .

$(- 1, 2.5), (1, 2.5)$

Paso 9