Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} - 2}{1 - \cos (2 x)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + e^{- x} - 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Paso 1.2.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Paso 1.2.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} - x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Paso 1.2.4

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Paso 1.2.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Paso 1.2.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{e^{0} + e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Paso 1.2.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{e^{0} + e^{0} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Paso 1.2.7

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.7.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.7.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 + e^{0} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Paso 1.2.7.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 + 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Paso 1.2.7.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1 + 1 - 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Paso 1.2.7.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Paso 1.2.7.3

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 1.3.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 1.3.1.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Paso 1.3.1.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (2 \cdot 0)}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Paso 1.3.3.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} - 2}{1 - \cos (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x} - 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x} - 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} + e^{- x} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Paso 3.4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 3.4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Paso 3.4.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Paso 3.4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Paso 3.4.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Paso 3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Paso 3.4.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Paso 3.4.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Paso 3.4.6

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Paso 3.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} + 0}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Paso 3.6

Suma $e^{x} - e^{- x}$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}$

Paso 3.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}$

Paso 3.9

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

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Paso 3.9.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Paso 3.9.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.9.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}$

Paso 3.9.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Paso 3.9.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Paso 3.9.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}$

Paso 3.9.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))}$

Paso 3.9.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - (- \sin (2 x) \cdot 2)}$

Paso 3.9.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - (- 2 \sin (2 x))}$

Paso 3.9.7

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 + 2 \sin (2 x)}$

Paso 3.10

Suma $0$ y $2 \sin (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{2 \sin (2 x)}$

Paso 4

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin (2 x)}$

Paso 5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{x} - e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 5.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 5.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 5.1.2.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 5.1.2.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} - e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 5.1.2.4

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} - e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 5.1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{0} - e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 5.1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{0} - e^{0}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 5.1.2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1.2.6.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.6.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - e^{0}}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 5.1.2.6.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 5.1.2.6.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 5.1.2.6.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 5.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 5.1.3.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Paso 5.1.3.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 5.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Paso 5.1.3.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.3.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Paso 5.1.3.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 5.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 5.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 5.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 5.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} - e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 5.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 5.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

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Paso 5.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{- x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 5.3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 5.3.4.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 5.3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 5.3.4.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 5.3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} \cdot - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 5.3.4.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 5.3.4.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - - 1 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 5.3.4.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 5.3.4.8

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 5.3.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 5.3.5.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 5.3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 5.3.6

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}$

Paso 5.3.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Paso 5.3.9

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{2 \cos (2 x)}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (2 x)}$

Paso 6.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 6.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 6.4

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 6.5

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 6.6

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Paso 6.7

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Paso 6.8

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{0} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 7.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 8.1.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 8.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 8.2

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + e^{0}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 8.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + 1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 8.2.3

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\cos (2 \cdot 0)}$

Paso 8.3

Simplifica el denominador.

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Paso 8.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\cos (0)}$

Paso 8.3.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1}$

Paso 8.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} \cdot \frac{2}{1}$

Paso 8.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2}{1}$

Paso 8.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2}$