Cálculo Ejemplos

$- {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$- (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 6.2

Resta $3$ de $2$ .

$- (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 7.2

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$- (\frac{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 7.3

Mueve ${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 10

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0)$

Paso 11

Simplifica la expresión.

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Paso 11.1

Suma $1$ y $0$ .

$- \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Paso 11.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$