Cálculo Ejemplos

$\frac{x + 4}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 4$ y $g (x) = (x - 1) (x + 3)$ .

$\frac{(x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [x + 4] - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

Paso 2.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 1) (x + 3) (1 + 0) - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x - 1) (x + 3) \cdot 1 - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

Paso 2.4.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)]}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x - 1$ y $g (x) = x + 3$ .

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) ((x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) ((x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

Paso 4.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) ((x - 1) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

Paso 4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) ((x - 1) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

Paso 4.4.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

Paso 4.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

Paso 4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

Paso 4.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + (x + 3) (1 + 0))}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

Paso 4.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + (x + 3) \cdot 1)}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

Paso 4.8.2

Multiplica $x + 3$ por $1$ .

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (x - 1 + x + 3)}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

Paso 4.8.3

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (2 x - 1 + 3)}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

Paso 4.8.4

Suma $- 1$ y $3$ .

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (2 x + 2)}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la regla del producto a $(x - 1) (x + 3)$ .

$\frac{(x - 1) (x + 3) - (x + 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 1) (x + 3) + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

Expande $(x - 1) (x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x + 3) - 1 (x + 3) + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 - 1 (x + 3) + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - x - 1 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - x - 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.2

Resta $x$ de $3 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 + (- x - 4) (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.3.1.4

Expande $(- x - 4) (2 x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.3.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - x (2 x + 2) - 4 (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.3.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - x (2 x) - x \cdot 2 - 4 (2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.3.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - x (2 x) - x \cdot 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.3.1.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.3.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.5.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.3.1.5.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.5.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.3.1.5.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.3.1.5.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 2 x^{2} - x \cdot 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.3.1.5.1.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 2 x^{2} - 2 x - 4 (2 x) - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.3.1.5.1.5

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 2 x^{2} - 2 x - 8 x - 4 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.3.1.5.1.6

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 2 x^{2} - 2 x - 8 x - 8}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.3.1.5.2

Resta $8 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 3 - 2 x^{2} - 10 x - 8}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 2 x - 3 - 10 x - 8}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.3.3

Resta $10 x$ de $2 x$ .

$\frac{- x^{2} - 8 x - 3 - 8}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.3.4

Resta $8$ de $- 3$ .

$\frac{- x^{2} - 8 x - 11}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Paso 5.4

Reordena los términos.

$\frac{- x^{2} - 8 x - 11}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.5

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - 8 x - 11}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.6

Factoriza $- 1$ de $- 8 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (8 x) - 11}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.7

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (8 x)$ .

$\frac{- (x^{2} + 8 x) - 11}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.8

Reescribe $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$\frac{- (x^{2} + 8 x) - 1 (11)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.9

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} + 8 x) - 1 (11)$ .

$\frac{- (x^{2} + 8 x + 11)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.10

Reescribe $- (x^{2} + 8 x + 11)$ como $- 1 (x^{2} + 8 x + 11)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + 8 x + 11)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 5.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2} + 8 x + 11}{{(x + 3)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$