Cálculo Ejemplos

$1 - \arctan (e^{t})$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \arctan (e^{t})$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \arctan (e^{t})]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \arctan (e^{t})]$

Paso 1.2

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \arctan (e^{t})]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d t} [- \arctan (e^{t})]$ .

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Paso 2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- \arctan (e^{t})$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [\arctan (e^{t})]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [\arctan (e^{t})]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \arctan (t)$ y $g (t) = e^{t}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $e^{t}$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Paso 2.2.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$0 - (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $e^{t}$ .

$0 - (\frac{1}{1 + {(e^{t})}^{2}} \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ es $a^{t} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$0 - (\frac{1}{1 + {(e^{t})}^{2}} e^{t})$

Paso 2.4

Multiplica los exponentes en ${(e^{t})}^{2}$ .

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Paso 2.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - (\frac{1}{1 + e^{t \cdot 2}} e^{t})$

Paso 2.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $t$ .

$0 - (\frac{1}{1 + e^{2 t}} e^{t})$

Paso 2.5

Combina $\frac{1}{1 + e^{2 t}}$ y $e^{t}$ .

$0 - \frac{e^{t}}{1 + e^{2 t}}$

Paso 3

Resta $\frac{e^{t}}{1 + e^{2 t}}$ de $0$ .

$- \frac{e^{t}}{1 + e^{2 t}}$