Cálculo Ejemplos

$3 x^{3} - 3 y^{3} = - 4 x^{2} y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (3 x^{3} - 3 y^{3}) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{3} - 3 y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 y^{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 y^{3}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$9 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$9 x^{2} - 3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$9 x^{2} - 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$9 x^{2} - 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$9 x^{2} - 3 (3 y^{2} y')$

Paso 2.3.4

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$9 x^{2} - 9 y^{2} y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{2} y$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

$- 4 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 4 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 4 (x^{2} y' + y (2 x))$

Paso 3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$- 4 (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 (x^{2} y') - 4 (2 y x)$

Paso 3.6.2

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$- 4 x^{2} y' - 8 y x$

Paso 3.6.3

Reordena los términos.

$- 4 x^{2} y' - 8 x y$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$9 x^{2} - 9 y^{2} y' = - 4 x^{2} y' - 8 x y$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Suma $4 x^{2} y'$ a ambos lados de la ecuación.

$9 x^{2} - 9 y^{2} y' + 4 x^{2} y' = - 8 x y$

Paso 5.2

Resta $9 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 9 y^{2} y' + 4 x^{2} y' = - 8 x y - 9 x^{2}$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $- 9 y^{2} y' + 4 x^{2} y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de $- 9 y^{2} y'$ .

$y' (- 9 y^{2}) + 4 x^{2} y' = - 8 x y - 9 x^{2}$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $4 x^{2} y'$ .

$y' (- 9 y^{2}) + y' (4 x^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' (- 9 y^{2}) + y' (4 x^{2})$ .

$y' (- 9 y^{2} + 4 x^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Paso 5.4

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$y' (- 9 y^{2} + {(2 x)}^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Paso 5.5

Reescribe $9 y^{2}$ como ${(3 y)}^{2}$ .

$y' (- {(3 y)}^{2} + {(2 x)}^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Paso 5.6

Reordena $- {(3 y)}^{2}$ y ${(2 x)}^{2}$ .

$y' ({(2 x)}^{2} - {(3 y)}^{2}) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Paso 5.7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 x$ y $b = 3 y$ .

$y' ((2 x + 3 y) (2 x - (3 y))) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Paso 5.8

Factoriza.

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Paso 5.8.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$y' ((2 x + 3 y) (2 x - 3 y)) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Paso 5.8.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y) = - 8 x y - 9 x^{2}$

Paso 5.9

Divide cada término en $y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y) = - 8 x y - 9 x^{2}$ por $(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)$ y simplifica.

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Paso 5.9.1

Divide cada término en $y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y) = - 8 x y - 9 x^{2}$ por $(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)$ .

$\frac{y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Paso 5.9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.9.2.1

Cancela el factor común de $2 x + 3 y$ .

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Paso 5.9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Paso 5.9.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (2 x - 3 y)}{2 x - 3 y} = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Paso 5.9.2.2

Cancela el factor común de $2 x - 3 y$ .

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Paso 5.9.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 x - 3 y)}{2 x - 3 y} = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Paso 5.9.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Paso 5.9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.9.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.9.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} + \frac{- 9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Paso 5.9.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} - \frac{9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 x y}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)} - \frac{9 x^{2}}{(2 x + 3 y) (2 x - 3 y)}$