Cálculo Ejemplos

$\int_{- 3}^{5} (5 x^{2} - e^{5 x}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{- 3}^{5} 5 x^{2} - e^{5 x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 3}^{5} 5 x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

Paso 3

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int_{- 3}^{5} x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

Paso 5

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - e^{5 x} d x$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 3}^{5} e^{5 x} d x$

Paso 7

Sea $u = 5 x$ . Entonces $d u = 5 d x$ , de modo que $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1

Deja $u = 5 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 7.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Paso 7.1.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$5$

Paso 7.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 \cdot - 3$

Paso 7.3

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$u_{lower} = - 15$

Paso 7.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 5$

Paso 7.5

Multiplica $5$ por $5$ .

$u_{upper} = 25$

Paso 7.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 15$

$u_{upper} = 25$

Paso 7.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 15}^{25} e^{u} \frac{1}{5} d u$

Paso 8

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 15}^{25} \frac{e^{u}}{5} d u$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - (\frac{1}{5} \int_{- 15}^{25} e^{u} d u)$

Paso 10

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - \frac{1}{5} e^{u}]_{- 15}^{25}$

Paso 11

Sustituye y simplifica.

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Paso 11.1

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $5$ y en $- 3$ .

$5 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - \frac{1}{5} e^{u}]_{- 15}^{25}$

Paso 11.2

Evalúa $e^{u}$ en $25$ y en $- 15$ .

$5 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Paso 11.3

Simplifica.

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Paso 11.3.1

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$5 (\frac{125}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Paso 11.3.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$5 (\frac{125}{3} - \frac{- 27}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Paso 11.3.3

Cancela el factor común de $- 27$ y $3$ .

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Paso 11.3.3.1

Factoriza $3$ de $- 27$ .

$5 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Paso 11.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$5 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Paso 11.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$5 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Paso 11.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$5 (\frac{125}{3} - \frac{- 9}{1}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Paso 11.3.3.2.4

Divide $- 9$ por $1$ .

$5 (\frac{125}{3} - - 9) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Paso 11.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 9$ .

$5 (\frac{125}{3} + 9) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Paso 11.3.5

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{125}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Paso 11.3.6

Combina $9$ y $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{125}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Paso 11.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 \frac{125 + 9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Paso 11.3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 11.3.8.1

Multiplica $9$ por $3$ .

$5 \frac{125 + 27}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Paso 11.3.8.2

Suma $125$ y $27$ .

$5 (\frac{152}{3}) - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Paso 11.3.9

Combina $5$ y $\frac{152}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 152}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Paso 11.3.10

Multiplica $5$ por $152$ .

$\frac{760}{3} - \frac{1}{5} ((e^{25}) - e^{- 15})$

Paso 11.3.11

Para escribir $- \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{760}{3} - \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15}) \cdot \frac{3}{3}$

Paso 11.3.12

Combina $- \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15})$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{760}{3} + \frac{- \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15}) \cdot 3}{3}$

Paso 11.3.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{760 - \frac{1}{5} (e^{25} - e^{- 15}) \cdot 3}{3}$

Paso 11.3.14

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{760 - 3 (\frac{1}{5}) (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

Paso 11.3.15

Combina $- 3$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{760 + \frac{- 3}{5} (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

Paso 11.3.16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{760 - \frac{3}{5} (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{760 - \frac{3}{5} \cdot (e^{25} - e^{- 15})}{3}$

Forma decimal:

$- 14400979614.1438$

Paso 13