Cálculo Ejemplos

$y = \sin (x)$ , $y = 5 x$ , $x = \frac{π}{2}$ , $x = π$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$\sin (x) = 5 x$

Paso 1.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x = 0$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 0$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$y = 5 (0)$

Paso 1.3.2

Sustituye $0$ por $x$ en $y = 5 (0)$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 5 (0)$

Paso 1.3.2.2

Multiplica $5$ por $0$ .

$y = 0$

Paso 1.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(0, 0)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x d x - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $\frac{π}{2}$ y $π$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x - (\sin (x)) d x$

Paso 3.2

Multiplica $- 1$ por $\sin (x)$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x - \sin (x) d x$

Paso 3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x d x + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Paso 3.4

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int_{\frac{π}{2}}^{π} x d x + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Paso 3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Paso 3.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Paso 3.7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

Paso 3.8

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Paso 3.9

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.9.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.9.1.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $π$ y en $\frac{π}{2}$ .

$5 ((\frac{π^{2}}{2}) - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Paso 3.9.1.2

Evalúa $- \cos (x)$ en $π$ y en $\frac{π}{2}$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

Paso 3.9.2

Simplifica.

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Paso 3.9.2.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - (- \cos (π) + 0)$

Paso 3.9.2.2

Suma $- \cos (π)$ y $0$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - - \cos (π)$

Paso 3.9.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) + 1 \cos (π)$

Paso 3.9.2.4

Multiplica $\cos (π)$ por $1$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) + \cos (π)$

Paso 3.9.3

Simplifica.

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Paso 3.9.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.9.3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{π}{2}$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{\frac{π^{2}}{2^{2}}}{2}) + \cos (π)$

Paso 3.9.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{\frac{π^{2}}{4}}{2}) + \cos (π)$

Paso 3.9.3.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - (\frac{π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{2})) + \cos (π)$

Paso 3.9.3.3

Combinar.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2} \cdot 1}{4 \cdot 2}) + \cos (π)$

Paso 3.9.3.4

Multiplica $π^{2}$ por $1$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{4 \cdot 2}) + \cos (π)$

Paso 3.9.3.5

Multiplica $4$ por $2$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

Paso 3.9.3.6

Para escribir $\frac{π^{2}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

Paso 3.9.3.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.9.3.7.1

Multiplica $\frac{π^{2}}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{π^{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

Paso 3.9.3.7.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$5 (\frac{π^{2} \cdot 4}{8} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

Paso 3.9.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 \frac{π^{2} \cdot 4 - π^{2}}{8} + \cos (π)$

Paso 3.9.3.9

Mueve $4$ a la izquierda de $π^{2}$ .

$5 \frac{4 \cdot π^{2} - π^{2}}{8} + \cos (π)$

Paso 3.9.3.10

Resta $π^{2}$ de $4 π^{2}$ .

$5 \frac{3 π^{2}}{8} + \cos (π)$

Paso 3.9.3.11

Multiplica $5 \frac{3 π^{2}}{8}$ .

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Paso 3.9.3.11.1

Combina $5$ y $\frac{3 π^{2}}{8}$ .

$\frac{5 (3 π^{2})}{8} + \cos (π)$

Paso 3.9.3.11.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{15 π^{2}}{8} + \cos (π)$

Paso 3.10

Simplifica cada término.

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Paso 3.10.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$\frac{15 π^{2}}{8} - \cos (0)$

Paso 3.10.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{15 π^{2}}{8} - 1 \cdot 1$

Paso 3.10.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{15 π^{2}}{8} - 1$

Paso 4