Cálculo Ejemplos

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{1 + {(\frac{i}{n})}^{2}}$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{i}{n}$ .

$\frac{1}{1 + \frac{i^{2}}{n^{2}}}$

Paso 1.1.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{i^{2}}{n^{2}}}$

Paso 1.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\frac{n^{2} + i^{2}}{n^{2}}}$

Paso 1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 \frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

Paso 1.3

Multiplica $\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$ por $1$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

Paso 1.4

Reescribe la suma.

$\frac{1}{n \sum_{i = 1}^{n} \frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}}$

Paso 2

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 3

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(\frac{1}{n}) ((\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}) (n))$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $n$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $n$ de $(\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}) (n)$ .

$\frac{1}{n} (n ((\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n))$

Paso 4.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{n} (n ((\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n))$

Paso 4.1.3

Reescribe la expresión.

$(\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n$

Paso 4.2

Combina $\frac{n}{n^{2} + i^{2}}$ y $n$ .

$\frac{n \cdot n}{n^{2} + i^{2}}$

Paso 4.3

Eleva $n$ a la potencia de $1$ .

$\frac{n^{1} n}{n^{2} + i^{2}}$

Paso 4.4

Eleva $n$ a la potencia de $1$ .

$\frac{n^{1} n^{1}}{n^{2} + i^{2}}$

Paso 4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{n^{1 + 1}}{n^{2} + i^{2}}$

Paso 4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

Paso 4.7

Simplifica el denominador.

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Paso 4.7.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} - 1}$

Paso 4.7.2

Reescribe $n^{2} - 1$ en forma factorizada.

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Paso 4.7.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} - 1^{2}}$

Paso 4.7.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = n$ y $b = 1$ .

$\frac{n^{2}}{(n + 1) (n - 1)}$