Cálculo Ejemplos

$\ln (2 e^{t} - 1)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \ln (t)$ y $g (t) = 2 e^{t} - 1$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 e^{t} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 e^{t} - 1$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 e^{t} - 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Paso 2.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 e^{t}$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 \frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ es $a^{t} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + \frac{d}{d t} [- 1])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + 0)$

Paso 4.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.1

Suma $2 e^{t}$ y $0$ .

$\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t})$

Paso 4.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{2 e^{t} - 1}$ .

$\frac{2}{2 e^{t} - 1} e^{t}$

Paso 4.2.3

Combina $\frac{2}{2 e^{t} - 1}$ y $e^{t}$ .

$\frac{2 e^{t}}{2 e^{t} - 1}$