Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 3} \frac{4 \ln (3 x - 8)}{2 e^{2 x - 6} - 2}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 3} 4 \ln (3 x - 8)}{lim_{x \to 3} 2 e^{2 x - 6} - 2}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 3} \ln (3 x - 8)}{lim_{x \to 3} 2 e^{2 x - 6} - 2}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 3} 3 x - 8)}{lim_{x \to 3} 2 e^{2 x - 6} - 2}$

Paso 1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 3} 3 x - lim_{x \to 3} 8)}{lim_{x \to 3} 2 e^{2 x - 6} - 2}$

Paso 1.2.1.4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 \ln (3 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 8)}{lim_{x \to 3} 2 e^{2 x - 6} - 2}$

Paso 1.2.1.5

Evalúa el límite de $8$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{4 \ln (3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 8)}{lim_{x \to 3} 2 e^{2 x - 6} - 2}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{4 \ln (3 \cdot 3 - 1 \cdot 8)}{lim_{x \to 3} 2 e^{2 x - 6} - 2}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{4 \ln (9 - 1 \cdot 8)}{lim_{x \to 3} 2 e^{2 x - 6} - 2}$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{4 \ln (9 - 8)}{lim_{x \to 3} 2 e^{2 x - 6} - 2}$

Paso 1.2.3.2

Resta $8$ de $9$ .

$\frac{4 \ln (1)}{lim_{x \to 3} 2 e^{2 x - 6} - 2}$

Paso 1.2.3.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to 3} 2 e^{2 x - 6} - 2}$

Paso 1.2.3.4

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 2 e^{2 x - 6} - 2}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 2 e^{2 x - 6} - lim_{x \to 3} 2}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 3} e^{2 x - 6} - lim_{x \to 3} 2}$

Paso 1.3.1.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{0}{2 e^{lim_{x \to 3} 2 x - 6} - lim_{x \to 3} 2}$

Paso 1.3.1.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{0}{2 e^{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} 2}$

Paso 1.3.1.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{2 e^{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} 2}$

Paso 1.3.1.6

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{0}{2 e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - lim_{x \to 3} 2}$

Paso 1.3.1.7

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{0}{2 e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 2}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{0}{2 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 2}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{0}{2 e^{6 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 2}$

Paso 1.3.3.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{0}{2 e^{6 - 6} - 1 \cdot 2}$

Paso 1.3.3.1.2

Resta $6$ de $6$ .

$\frac{0}{2 e^{0} - 1 \cdot 2}$

Paso 1.3.3.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{0}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 2}$

Paso 1.3.3.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Paso 1.3.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Paso 1.3.3.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 3} \frac{4 \ln (3 x - 8)}{2 e^{2 x - 6} - 2} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (3 x - 8)]}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (3 x - 8)]}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Paso 3.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \ln (3 x - 8)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 8)]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 8)]}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 x - 8$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x - 8$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 8])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Paso 3.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 8])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x - 8$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 (\frac{1}{3 x - 8} \frac{d}{d x} [3 x - 8])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Paso 3.4

Combina $\frac{1}{3 x - 8}$ y $4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{4}{3 x - 8} \frac{d}{d x} [3 x - 8]}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{4}{3 x - 8} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Paso 3.6

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{4}{3 x - 8} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{4}{3 x - 8} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Paso 3.8

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{4}{3 x - 8} (3 + \frac{d}{d x} [- 8])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Paso 3.9

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{4}{3 x - 8} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Paso 3.10

Suma $3$ y $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{4}{3 x - 8} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Paso 3.11

Combina $\frac{4}{3 x - 8}$ y $3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{4 \cdot 3}{3 x - 8}}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Paso 3.12

Multiplica $4$ por $3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6} - 2]}$

Paso 3.13

Según la regla de la suma, la derivada de $2 e^{2 x - 6} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 3.14

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 6}]$ .

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Paso 3.14.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 e^{2 x - 6}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x - 6}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{2 \frac{d}{d x} [e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 3.14.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x - 6$ .

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Paso 3.14.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x - 6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x - 6]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 3.14.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x - 6]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 3.14.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - 6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{2 (e^{2 x - 6} \frac{d}{d x} [2 x - 6]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 3.14.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{2 (e^{2 x - 6} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 3.14.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{2 (e^{2 x - 6} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 3.14.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{2 (e^{2 x - 6} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 3.14.6

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{2 (e^{2 x - 6} (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 3.14.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{2 (e^{2 x - 6} (2 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 3.14.8

Suma $2$ y $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{2 (e^{2 x - 6} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 3.14.9

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x - 6}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{2 (2 e^{2 x - 6}) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 3.14.10

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{4 e^{2 x - 6} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 3.15

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{4 e^{2 x - 6} + 0}$

Paso 3.16

Suma $4 e^{2 x - 6}$ y $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{12}{3 x - 8}}{4 e^{2 x - 6}}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 3} \frac{12}{3 x - 8} \cdot \frac{1}{4 e^{2 x - 6}}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{12}{3 x - 8}$ por $\frac{1}{4 e^{2 x - 6}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{12}{(3 x - 8) (4 e^{2 x - 6})}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $12$ y $4$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 \cdot 3}{(3 x - 8) (4 e^{2 x - 6})}$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $4$ de $(3 x - 8) (4 e^{2 x - 6})$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 \cdot 3}{4 ((3 x - 8) (e^{2 x - 6}))}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 3} \frac{4 \cdot 3}{4 ((3 x - 8) (e^{2 x - 6}))}$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 3} \frac{3}{(3 x - 8) (e^{2 x - 6})}$

Paso 6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 lim_{x \to 3} \frac{1}{(3 x - 8) e^{2 x - 6}}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$3 \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} (3 x - 8) e^{2 x - 6}}$

Paso 8

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$3 \frac{1}{lim_{x \to 3} (3 x - 8) e^{2 x - 6}}$

Paso 9

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$3 \frac{1}{lim_{x \to 3} 3 x - 8 \cdot lim_{x \to 3} e^{2 x - 6}}$

Paso 10

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$3 \frac{1}{(lim_{x \to 3} 3 x - lim_{x \to 3} 8) \cdot lim_{x \to 3} e^{2 x - 6}}$

Paso 11

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 \frac{1}{(3 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 8) \cdot lim_{x \to 3} e^{2 x - 6}}$

Paso 12

Evalúa el límite de $8$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$3 \frac{1}{(3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 8) \cdot lim_{x \to 3} e^{2 x - 6}}$

Paso 13

Mueve el límite dentro del exponente.

$3 \frac{1}{(3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 8) \cdot e^{lim_{x \to 3} 2 x - 6}}$

Paso 14

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$3 \frac{1}{(3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 8) \cdot e^{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6}}$

Paso 15

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 \frac{1}{(3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 8) \cdot e^{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}}$

Paso 16

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$3 \frac{1}{(3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 8) \cdot e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}}$

Paso 17

Evalúa los límites mediante el ingreso de $3$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 17.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$3 \frac{1}{(3 \cdot 3 - 1 \cdot 8) \cdot e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}}$

Paso 17.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$3 \frac{1}{(3 \cdot 3 - 1 \cdot 8) \cdot e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}$

Paso 18

Simplifica la respuesta.

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Paso 18.1

Simplifica el denominador.

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Paso 18.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$3 \frac{1}{(9 - 1 \cdot 8) e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}$

Paso 18.1.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$3 \frac{1}{(9 - 8) e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}$

Paso 18.1.3

Resta $8$ de $9$ .

$3 \frac{1}{1 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}$

Paso 18.1.4

Multiplica $e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$ por $1$ .

$3 \frac{1}{e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}$

Paso 18.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 18.1.5.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$3 \frac{1}{e^{6 - 1 \cdot 6}}$

Paso 18.1.5.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$3 \frac{1}{e^{6 - 6}}$

Paso 18.1.6

Resta $6$ de $6$ .

$3 \frac{1}{e^{0}}$

Paso 18.1.7

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$3 (\frac{1}{1})$

Paso 18.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 18.2.1

Cancela el factor común.

$3 (\frac{1}{1})$

Paso 18.2.2

Reescribe la expresión.

$3 \cdot 1$

Paso 18.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$