Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} - 1}{3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - 3} e^{x + 3} - 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} e^{x + 3} - lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Paso 1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3} - lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Paso 1.2.1.4

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Paso 1.2.1.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 3$ para $x$ .

$\frac{e^{- 3 + 3} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Suma $- 3$ y $3$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Paso 1.2.3.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Paso 1.2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Paso 1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 3} \ln (- 5 - 2 x)}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to - 3} - 5 - 2 x)}$

Paso 1.3.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{0}{3 \ln (- lim_{x \to - 3} 5 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

Paso 1.3.1.4

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{0}{3 \ln (- 1 \cdot 5 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

Paso 1.3.1.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{3 \ln (- 5 - 2 lim_{x \to - 3} x)}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 3$ para $x$ .

$\frac{0}{3 \ln (- 5 - 2 \cdot - 3)}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$\frac{0}{3 \ln (- 5 + 6)}$

Paso 1.3.3.2

Suma $- 5$ y $6$ .

$\frac{0}{3 \ln (1)}$

Paso 1.3.3.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0}$

Paso 1.3.3.4

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} - 1}{3 \ln (- 5 - 2 x)} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 3} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 3} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x + 3} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x + 3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{x + 3}]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x + 3$ .

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Paso 3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Paso 3.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Paso 3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Paso 3.3.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Paso 3.3.5

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Paso 3.3.6

Multiplica $e^{x + 3}$ por $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} + 0}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Paso 3.5

Suma $e^{x + 3}$ y $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Paso 3.6

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \ln (- 5 - 2 x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\ln (- 5 - 2 x)]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{3 \frac{d}{d x} [\ln (- 5 - 2 x)]}$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = - 5 - 2 x$ .

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Paso 3.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 5 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- 5 - 2 x])}$

Paso 3.7.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- 5 - 2 x])}$

Paso 3.7.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 5 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{3 (\frac{1}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 5 - 2 x])}$

Paso 3.8

Combina $\frac{1}{- 5 - 2 x}$ y $3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 5 - 2 x]}$

Paso 3.9

Según la regla de la suma, la derivada de $- 5 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} (\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}$

Paso 3.10

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])}$

Paso 3.11

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Paso 3.12

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 3.13

Combina $- 2$ y $\frac{3}{- 5 - 2 x}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{- 2 \cdot 3}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.14

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{- 6}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 5 - 2 x} \cdot 1}$

Paso 3.17

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 5 - 2 x}}$

Paso 3.18

Simplifica.

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Paso 3.18.1

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 1 (5) - 2 x}}$

Paso 3.18.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 1 (5) - (2 x)}}$

Paso 3.18.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (5) - (2 x)$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 1 (5 + 2 x)}}$

Paso 3.18.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- - \frac{6}{5 + 2 x}}$

Paso 3.18.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{1 \frac{6}{5 + 2 x}}$

Paso 3.18.6

Multiplica $\frac{6}{5 + 2 x}$ por $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{6}{5 + 2 x}}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to - 3} e^{x + 3} \frac{5 + 2 x}{6}$

Paso 5

Combina $e^{x + 3}$ y $\frac{5 + 2 x}{6}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} (5 + 2 x)}{6}$

Paso 6

Mueve el término $\frac{1}{6}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to - 3} e^{x + 3} (5 + 2 x)$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to - 3} e^{x + 3} \cdot lim_{x \to - 3} 5 + 2 x$

Paso 8

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot lim_{x \to - 3} 5 + 2 x$

Paso 9

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3} \cdot lim_{x \to - 3} 5 + 2 x$

Paso 10

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot lim_{x \to - 3} 5 + 2 x$

Paso 11

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot (lim_{x \to - 3} 5 + lim_{x \to - 3} 2 x)$

Paso 12

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot (5 + lim_{x \to - 3} 2 x)$

Paso 13

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot (5 + 2 lim_{x \to - 3} x)$

Paso 14

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 3$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 14.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 3$ para $x$ .

$\frac{1}{6} e^{- 3 + 3} \cdot (5 + 2 lim_{x \to - 3} x)$

Paso 14.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 3$ para $x$ .

$\frac{1}{6} e^{- 3 + 3} \cdot (5 + 2 \cdot - 3)$

Paso 15

Simplifica la respuesta.

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Paso 15.1

Suma $- 3$ y $3$ .

$\frac{1}{6} e^{0} \cdot (5 + 2 \cdot - 3)$

Paso 15.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1 \cdot (5 + 2 \cdot - 3)$

Paso 15.3

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (5 + 2 \cdot - 3)$

Paso 15.4

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{1}{6} \cdot (5 - 6)$

Paso 15.5

Resta $6$ de $5$ .

$\frac{1}{6} \cdot - 1$

Paso 15.6

Combina $\frac{1}{6}$ y $- 1$ .

$\frac{- 1}{6}$

Paso 15.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{6}$