Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \arctan (4 x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \arctan (4 x)$ y $d v = 1$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{4}{16 x^{2} + 1} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $x$ y $\frac{4}{16 x^{2} + 1}$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x \cdot 4}{16 x^{2} + 1} d x$

Paso 2.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{4 x}{16 x^{2} + 1} d x$

Paso 3

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - (4 \int_{0}^{1} \frac{x}{16 x^{2} + 1} d x)$

Paso 4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - 4 \int_{0}^{1} \frac{x}{16 x^{2} + 1} d x$

Paso 5

Sea $u = 16 x^{2} + 1$ . Entonces $d u = 32 x d x$ , de modo que $\frac{1}{32} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 16 x^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $16 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} + 1]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $16 x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x^{2}$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$16 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $2$ por $16$ .

$32 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$32 x + 0$

Paso 5.1.4.2

Suma $32 x$ y $0$ .

$32 x$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 16 x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 16 \cdot 0^{2} + 1$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 16 \cdot 0 + 1$

Paso 5.3.1.2

Multiplica $16$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 5.3.2

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 16 x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 16 \cdot 1^{2} + 1$

Paso 5.5

Simplifica.

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Paso 5.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 16 \cdot 1 + 1$

Paso 5.5.1.2

Multiplica $16$ por $1$ .

$u_{upper} = 16 + 1$

Paso 5.5.2

Suma $16$ y $1$ .

$u_{upper} = 17$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 17$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - 4 \int_{1}^{17} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{32} d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{32}$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - 4 \int_{1}^{17} \frac{1}{u \cdot 32} d u$

Paso 6.2

Mueve $32$ a la izquierda de $u$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - 4 \int_{1}^{17} \frac{1}{32 u} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{32}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{32}$ fuera de la integral.

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - 4 (\frac{1}{32} \int_{1}^{17} \frac{1}{u} d u)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{32}$ y $- 4$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 4}{32} \int_{1}^{17} \frac{1}{u} d u$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $32$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} + \frac{4 (- 1)}{32} \int_{1}^{17} \frac{1}{u} d u$

Paso 8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.1

Factoriza $4$ de $32$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8} \int_{1}^{17} \frac{1}{u} d u$

Paso 8.2.2.2

Cancela el factor común.

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8} \int_{1}^{17} \frac{1}{u} d u$

Paso 8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 1}{8} \int_{1}^{17} \frac{1}{u} d u$

Paso 8.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{8} \int_{1}^{17} \frac{1}{u} d u$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{8} \ln (| u |)]_{1}^{17}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Evalúa $\arctan (4 x) x$ en $1$ y en $0$ .

$(\arctan (4 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (4 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{8} \ln (| u |)]_{1}^{17}$

Paso 10.2

Simplifica la expresión.

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Paso 10.2.1

Evalúa $\ln (| u |)$ en $17$ y en $1$ .

$(\arctan (4 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (4 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{8} ((\ln (| 17 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 10.2.2

Multiplica.

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Paso 10.2.2.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$\arctan (4) \cdot 1 - \arctan (4 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{8} ((\ln (| 17 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 10.2.2.2

Multiplica $\arctan (4)$ por $1$ .

$\arctan (4) - \arctan (4 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{8} ((\ln (| 17 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 10.2.2.3

Multiplica $4$ por $0$ .

$\arctan (4) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{8} ((\ln (| 17 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 10.2.3

Simplifica.

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Paso 10.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\arctan (4) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{8} ((\ln (| 17 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 10.2.3.2

Multiplica $0$ por $\arctan (0)$ .

$\arctan (4) + 0 - \frac{1}{8} ((\ln (| 17 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 10.2.4

Suma $\arctan (4)$ y $0$ .

$\arctan (4) - \frac{1}{8} ((\ln (| 17 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 10.3

Simplifica.

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Paso 10.3.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (4) - \frac{1}{8} \ln (\frac{| 17 |}{| 1 |})$

Paso 10.3.2

Combina $\ln (\frac{| 17 |}{| 1 |})$ y $\frac{1}{8}$ .

$\arctan (4) - \frac{\ln (\frac{| 17 |}{| 1 |})}{8}$

Paso 10.4

Simplifica.

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Paso 10.4.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $17$ es $17$ .

$\arctan (4) - \frac{\ln (\frac{17}{| 1 |})}{8}$

Paso 10.4.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\arctan (4) - \frac{\ln (\frac{17}{1})}{8}$

Paso 10.4.3

Divide $17$ por $1$ .

$\arctan (4) - \frac{\ln (17)}{8}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\arctan (4) - \frac{\ln (17)}{8}$

Forma decimal:

$0.97166599 \dots$