Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - x^{3}}{4 x^{5} + 1}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{5}} - \frac{x^{3}}{x^{5}}}{\frac{4 x^{5}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x^{5}$ .

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Paso 2.1.1

Multiplica por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{5}} - \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{5}}}{\frac{4 x^{5}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}}$

Paso 2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{5}} - \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} x^{2}}}{\frac{4 x^{5}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}}$

Paso 2.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{5}} - \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} x^{2}}}{\frac{4 x^{5}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}}$

Paso 2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{5}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4 x^{5}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $x^{5}$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{5}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4 x^{5}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}}$

Paso 2.2.2

Divide $4$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{5}} - \frac{1}{x^{2}}}{4 + \frac{1}{x^{5}}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{5}} - \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x^{5}}}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{5}} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x^{5}}}$

Paso 2.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{5}} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x^{5}}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{5}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x^{5}}}$

Paso 4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x^{5}}}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{5}}}$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{5}}}$

Paso 6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{5}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{4 + 0}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $2 \cdot 0 - 0$ y $4 + 0$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $- 1$ de $2 \cdot 0$ .

$\frac{- (- 2 \cdot 0) - 0}{4 + 0}$

Paso 7.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 0$ .

$\frac{- (- 2 \cdot 0) - (0)}{4 + 0}$

Paso 7.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (- 2 \cdot 0) - (0)$ .

$\frac{- (- 2 \cdot 0 + 0)}{4 + 0}$

Paso 7.1.4

Reescribe $- (- 2 \cdot 0 + 0)$ como $- 1 (- 2 \cdot 0 + 0)$ .

$\frac{- 1 (- 2 \cdot 0 + 0)}{4 + 0}$

Paso 7.1.5

Factoriza $4$ de $- 1 (- 2 \cdot 0 + 0)$ .

$\frac{4 (- 1 (- 2 \cdot 0 + 0))}{4 + 0}$

Paso 7.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.1.6.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 (- 1 (- 2 \cdot 0 + 0))}{4 (1) + 0}$

Paso 7.1.6.2

Factoriza $4$ de $0$ .

$\frac{4 (- 1 (- 2 \cdot 0 + 0))}{4 \cdot 1 + 4 \cdot 0}$

Paso 7.1.6.3

Factoriza $4$ de $4 \cdot 1 + 4 \cdot 0$ .

$\frac{4 (- 1 (- 2 \cdot 0 + 0))}{4 \cdot (1 + 0)}$

Paso 7.1.6.4

Cancela el factor común.

$\frac{4 (- 1 (- 2 \cdot 0 + 0))}{4 \cdot (1 + 0)}$

Paso 7.1.6.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 (- 2 \cdot 0 + 0)}{1 + 0}$

Paso 7.2

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$\frac{- 1 (0 + 0)}{1 + 0}$

Paso 7.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{1 + 0}$

Paso 7.3

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{1}$

Paso 7.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{1}$

Paso 7.5

Divide $0$ por $1$ .

$0$