Cálculo Ejemplos

$\int_{- 5}^{1} (- 5 x + 4 e^{- x}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{- 5}^{1} - 5 x + 4 e^{- x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 5}^{1} - 5 x d x + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

Paso 3

Dado que $- 5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 5$ fuera de la integral.

$- 5 \int_{- 5}^{1} x d x + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

Paso 6

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 \int_{- 5}^{1} e^{- x} d x$

Paso 7

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 7.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 7.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 7.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - x$ .

$u_{lower} = - - 5$

Paso 7.3

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$u_{lower} = 5$

Paso 7.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Paso 7.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Paso 7.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = - 1$

Paso 7.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 \int_{5}^{- 1} - e^{u} d u$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 (- \int_{5}^{- 1} e^{u} d u)$

Paso 9

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) - 4 \int_{5}^{- 1} e^{u} d u$

Paso 10

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) - 4 (e^{u}]_{5}^{- 1})$

Paso 11

Sustituye y simplifica.

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Paso 11.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $1$ y en $- 5$ .

$- 5 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 (e^{u}]_{5}^{- 1})$

Paso 11.2

Evalúa $e^{u}$ en $- 1$ y en $5$ .

$- 5 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Paso 11.3

Simplifica.

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Paso 11.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Paso 11.3.2

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{25}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Paso 11.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 5 \frac{1 - 25}{2} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Paso 11.3.4

Resta $25$ de $1$ .

$- 5 (\frac{- 24}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Paso 11.3.5

Cancela el factor común de $- 24$ y $2$ .

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Paso 11.3.5.1

Factoriza $2$ de $- 24$ .

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Paso 11.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Paso 11.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Paso 11.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$- 5 (\frac{- 12}{1}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Paso 11.3.5.2.4

Divide $- 12$ por $1$ .

$- 5 \cdot - 12 - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Paso 11.3.6

Multiplica $- 5$ por $- 12$ .

$60 - 4 (e^{- 1} - e^{5})$

Paso 12

Simplifica cada término.

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Paso 12.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$60 - 4 (\frac{1}{e} - e^{5})$

Paso 12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$60 - 4 \frac{1}{e} - 4 (- e^{5})$

Paso 12.3

Combina $- 4$ y $\frac{1}{e}$ .

$60 + \frac{- 4}{e} - 4 (- e^{5})$

Paso 12.4

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$60 + \frac{- 4}{e} + 4 e^{5}$

Paso 12.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$60 - \frac{4}{e} + 4 e^{5}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$60 - \frac{4}{e} + 4 e^{5}$

Forma decimal:

$652.18111864 \dots$

Paso 14