Cálculo Ejemplos

$f (x) = e^{x y}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (f (x)) = \frac{d}{d x} (e^{x y})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $f (x)$ es $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x}$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x y$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Paso 3.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$e^{x y} (x y' + y)$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y$

Paso 3.6.2

Reordena los términos.

$e^{x y} x y' + e^{x y} y$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{d f}{d x} = e^{x y} x y' + e^{x y} y$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $e^{x y} x y' + e^{x y} y = \frac{d f}{d x}$ .

$e^{x y} x y' + e^{x y} y = \frac{d f}{d x}$

Paso 5.2

Reordena los factores en $e^{x y} x y' + e^{x y} y$ .

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = \frac{d f}{d x}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $d$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = \frac{d f}{d x}$

Paso 5.3.2

Reescribe la expresión.

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = \frac{f}{x}$

Paso 5.4

Resta $y e^{x y}$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' e^{x y} = \frac{f}{x} - y e^{x y}$

Paso 5.5

Divide cada término en $x y' e^{x y} = \frac{f}{x} - y e^{x y}$ por $x e^{x y}$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $x y' e^{x y} = \frac{f}{x} - y e^{x y}$ por $x e^{x y}$ .

$\frac{x y' e^{x y}}{x e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y' e^{x y}}{x e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Paso 5.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Paso 5.5.2.2

Cancela el factor común de $e^{x y}$ .

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Paso 5.5.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y' = \frac{f}{x} \cdot \frac{1}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Paso 5.5.3.1.2

Combinar.

$y' = \frac{f \cdot 1}{x (x e^{x y})} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Paso 5.5.3.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.3.1.3.1

Mueve $x$ .

$y' = \frac{f \cdot 1}{x \cdot x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Paso 5.5.3.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y' = \frac{f \cdot 1}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Paso 5.5.3.1.4

Multiplica $f$ por $1$ .

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Paso 5.5.3.1.5

Cancela el factor común de $e^{x y}$ .

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Paso 5.5.3.1.5.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Paso 5.5.3.1.5.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y}{x}$

Paso 5.5.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} - \frac{y}{x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} - \frac{y}{x}$