Cálculo Ejemplos

$y = 3 \sqrt{2 x^{2} - x - 4}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x^{2} - x - 4}$ como ${(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 3 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 2 x^{2} - x - 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x^{2} - x - 4$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x^{2} - x - 4$ .

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Paso 4.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Paso 4.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Paso 4.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Paso 4.7

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Paso 4.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(2 x^{2} - x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{{(2 x^{2} - x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Paso 4.7.3

Mueve ${(2 x^{2} - x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Paso 4.7.4

Combina $\frac{1}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ y $3$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4]$

Paso 4.8

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} - x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 4.9

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 4.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 4.11

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 4.12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 4.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 4.14

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 4.15

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 1 + 0)$

Paso 4.16

Suma $4 x - 1$ y $0$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 1)$

Paso 4.17

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.1

Reordena los factores de $\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 1)$ .

$(4 x - 1) \frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.17.2

Multiplica $4 x - 1$ por $\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(4 x - 1) \cdot 3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.17.3

Mueve $3$ a la izquierda de $4 x - 1$ .

$\frac{3 (4 x - 1)}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{3 (4 x - 1)}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (4 x - 1)}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$