Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 1} \frac{3 \ln (3 x + 4)}{3 \tan (2 x + 2)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - 1} 3 \ln (3 x + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - 1} \ln (3 x + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{3 \ln (lim_{x \to - 1} 3 x + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Paso 1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{3 \ln (lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Paso 1.2.1.4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 \ln (3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Paso 1.2.1.5

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{3 \ln (3 lim_{x \to - 1} x + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{3 \ln (3 \cdot - 1 + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 \ln (- 3 + 4)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Paso 1.2.3.2

Suma $- 3$ y $4$ .

$\frac{3 \ln (1)}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Paso 1.2.3.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Paso 1.2.3.4

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 3 \tan (2 x + 2)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 1} \tan (2 x + 2)}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{0}{3 \tan (lim_{x \to - 1} 2 x + 2)}$

Paso 1.3.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{0}{3 \tan (lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 2)}$

Paso 1.3.1.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 2)}$

Paso 1.3.1.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to - 1} x + 2)}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{0}{3 \tan (2 \cdot - 1 + 2)}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{0}{3 \tan (- 2 + 2)}$

Paso 1.3.3.2

Suma $- 2$ y $2$ .

$\frac{0}{3 \tan (0)}$

Paso 1.3.3.3

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0}$

Paso 1.3.3.4

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - 1} \frac{3 \ln (3 x + 4)}{3 \tan (2 x + 2)} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (3 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (3 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Paso 3.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \ln (3 x + 4)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 4)]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 4)]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 x + 4$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x + 4$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Paso 3.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x + 4$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (\frac{1}{3 x + 4} \frac{d}{d x} [3 x + 4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Paso 3.4

Combina $\frac{1}{3 x + 4}$ y $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Paso 3.6

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Paso 3.8

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (3 + \frac{d}{d x} [4])}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Paso 3.9

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Paso 3.10

Suma $3$ y $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3}{3 x + 4} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Paso 3.11

Combina $\frac{3}{3 x + 4}$ y $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{3 \cdot 3}{3 x + 4}}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Paso 3.12

Multiplica $3$ por $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x + 2)]}$

Paso 3.13

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \tan (2 x + 2)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 2)]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 2)]}$

Paso 3.14

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 2 x + 2$ .

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Paso 3.14.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x + 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 2])}$

Paso 3.14.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x + 2])}$

Paso 3.14.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 (\sec^{2} (2 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 2])}$

Paso 3.15

Elimina los paréntesis.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 2]}$

Paso 3.16

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2])}$

Paso 3.17

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}$

Paso 3.18

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}$

Paso 3.19

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [2])}$

Paso 3.20

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) (2 + 0)}$

Paso 3.21

Suma $2$ y $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{3 \sec^{2} (2 x + 2) \cdot 2}$

Paso 3.22

Multiplica $2$ por $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{9}{3 x + 4}}{6 \sec^{2} (2 x + 2)}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to - 1} \frac{9}{3 x + 4} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (2 x + 2)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{9}{3 x + 4}$ por $\frac{1}{6 \sec^{2} (2 x + 2)}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{9}{(3 x + 4) (6 \sec^{2} (2 x + 2))}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $9$ y $6$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (3)}{(3 x + 4) (6 \sec^{2} (2 x + 2))}$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $3$ de $(3 x + 4) (6 \sec^{2} (2 x + 2))$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{3 (3)}{3 ((3 x + 4) (2 \sec^{2} (2 x + 2)))}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - 1} \frac{3 \cdot 3}{3 ((3 x + 4) (2 \sec^{2} (2 x + 2)))}$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to - 1} \frac{3}{(3 x + 4) (2 \sec^{2} (2 x + 2))}$

Paso 6

Mueve el término $\frac{3}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to - 1} \frac{1}{(3 x + 4) (\sec^{2} (2 x + 2))}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} (3 x + 4) (\sec^{2} (2 x + 2))}$

Paso 8

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} (3 x + 4) (\sec^{2} (2 x + 2))}$

Paso 9

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x + 4 \cdot lim_{x \to - 1} \sec^{2} (2 x + 2)}$

Paso 10

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 4) \cdot lim_{x \to - 1} \sec^{2} (2 x + 2)}$

Paso 11

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 4) \cdot lim_{x \to - 1} \sec^{2} (2 x + 2)}$

Paso 12

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot lim_{x \to - 1} \sec^{2} (2 x + 2)}$

Paso 13

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (2 x + 2)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot {(lim_{x \to - 1} \sec (2 x + 2))}^{2}}$

Paso 14

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to - 1} 2 x + 2)}$

Paso 15

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 2)}$

Paso 16

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 2)}$

Paso 17

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 lim_{x \to - 1} x + 4) \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to - 1} x + 2)}$

Paso 18

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 18.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 \cdot - 1 + 4) \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to - 1} x + 2)}$

Paso 18.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(3 \cdot - 1 + 4) \cdot \sec^{2} (2 \cdot - 1 + 2)}$

Paso 19

Simplifica la respuesta.

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Paso 19.1

Combinar.

$\frac{3 \cdot 1}{2 ((3 \cdot - 1 + 4) \cdot \sec^{2} (2 \cdot - 1 + 2))}$

Paso 19.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3}{2 (3 \cdot - 1 + 4) \cdot \sec^{2} (2 \cdot - 1 + 2)}$

Paso 19.3

Simplifica el denominador.

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Paso 19.3.1

Combina exponentes.

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Paso 19.3.1.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{3}{2 (- 3 + 4) \sec^{2} (2 \cdot - 1 + 2)}$

Paso 19.3.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{3}{2 (- 3 + 4) \sec^{2} (- 2 + 2)}$

Paso 19.3.2

Suma $- 3$ y $4$ .

$\frac{3}{2 \cdot 1 \sec^{2} (- 2 + 2)}$

Paso 19.3.3

Suma $- 2$ y $2$ .

$\frac{3}{2 \cdot 1 \sec^{2} (0)}$

Paso 19.3.4

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$\frac{3}{2 \cdot 1 \cdot 1^{2}}$

Paso 19.3.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{3}{2 \cdot 1 \cdot 1}$

Paso 19.3.6

Combina exponentes.

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Paso 19.3.6.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{3}{2 \cdot 1}$

Paso 19.3.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{3}{2}$