Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{e^{2 - 5 x}}$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{e^{2 - 5 x}}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{e^{2 - 5 x}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{e^{2 - 5 x}} d x$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Niega el exponente de $e^{2 - 5 x}$ y quítalo del denominador.

$\int 1 {(e^{2 - 5 x})}^{- 1} d x$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{2 - 5 x})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{(2 - 5 x) \cdot - 1} d x$

Paso 4.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 1 e^{2 \cdot - 1 - 5 x \cdot - 1} d x$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int 1 e^{- 2 - 5 x \cdot - 1} d x$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$\int 1 e^{- 2 + 5 x} d x$

Paso 4.2.2

Multiplica $e^{- 2 + 5 x}$ por $1$ .

$\int e^{- 2 + 5 x} d x$

Paso 5

Sea $u = - 2 + 5 x$ . Entonces $d u = 5 d x$ , de modo que $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = - 2 + 5 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $- 2 + 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 + 5 x]$

Paso 5.1.2

Diferencia.

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Paso 5.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 + 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 5.1.2.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 5 \cdot 1$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$0 + 5$

Paso 5.1.4

Suma $0$ y $5$ .

$5$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Paso 6

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{e^{u}}{5} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} \int e^{u} d u$

Paso 8

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{5} (e^{u} + C)$

Paso 9

Simplifica.

$\frac{1}{5} e^{u} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 + 5 x$ .

$\frac{1}{5} e^{- 2 + 5 x} + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{e^{2 - 5 x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} e^{- 2 + 5 x} + C$