Cálculo Ejemplos

$y = - \frac{1}{5} {(x - 5)}^{2} - 2$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Reescribe ${(x - 5)}^{2}$ como $(x - 5) (x - 5)$ .

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot ((x - 5) (x - 5)) - 2$

Paso 1.2

Expande $(x - 5) (x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot (x (x - 5) - 5 (x - 5)) - 2$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) - 2$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) - 2$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) - 2$

Paso 1.3.1.2

Mueve $- 5$ a la izquierda de $x$ .

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) - 2$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot (x^{2} - 5 x - 5 x + 25) - 2$

Paso 1.3.2

Resta $5 x$ de $- 5 x$ .

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot (x^{2} - 10 x + 25) - 2$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = - \frac{1}{5} x^{2} - \frac{1}{5} \cdot (- 10 x) - \frac{1}{5} \cdot 25 - 2$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{5}$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} - \frac{1}{5} \cdot (- 10 x) - \frac{1}{5} \cdot 25 - 2$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.5.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{5}$ al numerador.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{- 1}{5} \cdot (- 10 x) - \frac{1}{5} \cdot 25 - 2$

Paso 1.5.2.2

Factoriza $5$ de $- 10 x$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- 2 x)) - \frac{1}{5} \cdot 25 - 2$

Paso 1.5.2.3

Cancela el factor común.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- 2 x)) - \frac{1}{5} \cdot 25 - 2$

Paso 1.5.2.4

Reescribe la expresión.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} - 1 (- 2 x) - \frac{1}{5} \cdot 25 - 2$

Paso 1.5.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + 2 x - \frac{1}{5} \cdot 25 - 2$

Paso 1.5.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.5.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{5}$ al numerador.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + 2 x + \frac{- 1}{5} \cdot 25 - 2$

Paso 1.5.4.2

Factoriza $5$ de $25$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + 2 x + \frac{- 1}{5} \cdot (5 (5)) - 2$

Paso 1.5.4.3

Cancela el factor común.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + 2 x + \frac{- 1}{5} \cdot (5 \cdot 5) - 2$

Paso 1.5.4.4

Reescribe la expresión.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + 2 x - 1 \cdot 5 - 2$

Paso 1.5.5

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + 2 x - 5 - 2$

Paso 2

Resta $2$ de $- 5$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + 2 x - 7$

Paso 3

El máximo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es negativa, el valor máximo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 4

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{2}{2 (- 0.2)}$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{2}{2 (- 0.2)}$

Paso 4.3

Simplifica $- \frac{2}{2 (- 0.2)}$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.1.1

Cancela el factor común.

$x = - \frac{2}{2 \cdot - 0.2}$

Paso 4.3.1.2

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{1}{- 0.2}$

Paso 4.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.1

Divide $1$ por $- 0.2$ .

$x = - - 5$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$x = 5$

Paso 5

Evalúa $f (5)$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = - \frac{{(5)}^{2}}{5} + 2 (5) - 7$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común de ${(5)}^{2}$ y $5$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Factoriza $5$ de ${(5)}^{2}$ .

$f (5) = - \frac{5 \cdot 5}{5} + 2 (5) - 7$

Paso 5.2.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.1.1.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$f (5) = - \frac{5 \cdot 5}{5 (1)} + 2 (5) - 7$

Paso 5.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (5) = - \frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 1} + 2 (5) - 7$

Paso 5.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (5) = - \frac{5}{1} + 2 (5) - 7$

Paso 5.2.1.1.2.4

Divide $5$ por $1$ .

$f (5) = - 1 \cdot 5 + 2 (5) - 7$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f (5) = - 5 + 2 (5) - 7$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$f (5) = - 5 + 10 - 7$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.2.1

Suma $- 5$ y $10$ .

$f (5) = 5 - 7$

Paso 5.2.2.2

Resta $7$ de $5$ .

$f (5) = - 2$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 6

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el máximo.

$(5, - 2)$

Paso 7