Cálculo Ejemplos

$3 x^{3} - x y^{3} + 3 - 4 y^{3} = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (3 x^{3} - x y^{3} + 3 - 4 y^{3}) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{3} - x y^{3} + 3 - 4 y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{3}$ .

$9 x^{2} - (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$9 x^{2} - (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$9 x^{2} - (x (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$9 x^{2} - (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Paso 2.3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$9 x^{2} - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 x^{2} - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Paso 2.3.6

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$9 x^{2} - (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Paso 2.3.7

Multiplica $y^{3}$ por $1$ .

$9 x^{2} - (3 x y^{2} y' + y^{3}) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Paso 2.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$9 x^{2} - (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$ .

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Paso 2.5.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 y^{3}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$9 x^{2} - (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 0 - 4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.5.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$9 x^{2} - (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 0 - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.5.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$9 x^{2} - (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 0 - 4 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.5.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$9 x^{2} - (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 0 - 4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.5.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$9 x^{2} - (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 0 - 4 (3 y^{2} y')$

Paso 2.5.4

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$9 x^{2} - (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 0 - 12 y^{2} y'$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$9 x^{2} - (3 x y^{2} y') - y^{3} + 0 - 12 y^{2} y'$

Paso 2.6.2

Combina los términos.

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Paso 2.6.2.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$9 x^{2} - 3 (x y^{2} y') - y^{3} + 0 - 12 y^{2} y'$

Paso 2.6.2.2

Suma $9 x^{2} - 3 x y^{2} y' - y^{3}$ y $0$ .

$9 x^{2} - 3 x y^{2} y' - y^{3} - 12 y^{2} y'$

Paso 2.6.3

Reordena los términos.

$- y^{3} + 9 x^{2} - 3 y^{2} x y' - 12 y^{2} y'$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- y^{3} + 9 x^{2} - 3 y^{2} x y' - 12 y^{2} y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Suma $y^{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$9 x^{2} - 3 y^{2} x y' - 12 y^{2} y' = y^{3}$

Paso 5.1.2

Resta $9 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 y^{2} x y' - 12 y^{2} y' = y^{3} - 9 x^{2}$

Paso 5.2

Factoriza $3 y^{2} y'$ de $- 3 y^{2} x y' - 12 y^{2} y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $3 y^{2} y'$ de $- 3 y^{2} x y'$ .

$3 y^{2} y' (- 1 x) - 12 y^{2} y' = y^{3} - 9 x^{2}$

Paso 5.2.2

Factoriza $3 y^{2} y'$ de $- 12 y^{2} y'$ .

$3 y^{2} y' (- 1 x) + 3 y^{2} y' \cdot - 4 = y^{3} - 9 x^{2}$

Paso 5.2.3

Factoriza $3 y^{2} y'$ de $3 y^{2} y' (- 1 x) + 3 y^{2} y' \cdot - 4$ .

$3 y^{2} y' (- 1 x - 4) = y^{3} - 9 x^{2}$

Paso 5.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$3 y^{2} y' (- x - 4) = y^{3} - 9 x^{2}$

Paso 5.4

Divide cada término en $3 y^{2} y' (- x - 4) = y^{3} - 9 x^{2}$ por $3 y^{2} (- x - 4)$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $3 y^{2} y' (- x - 4) = y^{3} - 9 x^{2}$ por $3 y^{2} (- x - 4)$ .

$\frac{3 y^{2} y' (- x - 4)}{3 y^{2} (- x - 4)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y^{2} y' (- x - 4)}{3 y^{2} (- x - 4)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2} y' (- x - 4)}{y^{2} (- x - 4)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} y' (- x - 4)}{y^{2} (- x - 4)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Paso 5.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (- x - 4)}{- x - 4} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Paso 5.4.2.3

Cancela el factor común de $- x - 4$ .

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Paso 5.4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- x - 4)}{- x - 4} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Paso 5.4.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Cancela el factor común de $y^{3}$ y $y^{2}$ .

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Paso 5.4.3.1.1.1

Factoriza $y^{2}$ de $y^{3}$ .

$y' = \frac{y^{2} y}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Paso 5.4.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.1.2.1

Factoriza $y^{2}$ de $3 y^{2} (- x - 4)$ .

$y' = \frac{y^{2} y}{y^{2} (3 (- x - 4))} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Paso 5.4.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y^{2} y}{y^{2} (3 (- x - 4))} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Paso 5.4.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{y}{3 (- x - 4)} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Paso 5.4.3.1.2

Cancela el factor común de $- 9$ y $3$ .

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Paso 5.4.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $- 9 x^{2}$ .

$y' = \frac{y}{3 (- x - 4)} + \frac{3 (- 3 x^{2})}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Paso 5.4.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.2.2.1

Factoriza $3$ de $3 y^{2} (- x - 4)$ .

$y' = \frac{y}{3 (- x - 4)} + \frac{3 (- 3 x^{2})}{3 (y^{2} (- x - 4))}$

Paso 5.4.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y}{3 (- x - 4)} + \frac{3 (- 3 x^{2})}{3 (y^{2} (- x - 4))}$

Paso 5.4.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{y}{3 (- x - 4)} + \frac{- 3 x^{2}}{y^{2} (- x - 4)}$

Paso 5.4.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{y}{3 (- x - 4)} - \frac{3 x^{2}}{y^{2} (- x - 4)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 (- x - 4)} - \frac{3 x^{2}}{y^{2} (- x - 4)}$