Cálculo Ejemplos

$y = \ln ({(t + 1)}^{2})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \ln (t)$ y $g (t) = {(t + 1)}^{2}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(t + 1)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{2}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{2}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(t + 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{2}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = t + 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $t + 1$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [t + 1])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $t + 1$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} (2 (t + 1) \frac{d}{d t} [t + 1])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Combina $2$ y $\frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) \frac{d}{d t} [t + 1])$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]))$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [1]))$

Paso 3.4

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) (1 + 0))$

Paso 3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) \cdot 1)$

Paso 3.5.2

Multiplica $t + 1$ por $1$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} (t + 1)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los factores de $\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} (t + 1)$ .

$(t + 1) \frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $t + 1$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $t + 1$ de ${(t + 1)}^{2}$ .

$(t + 1) \frac{2}{(t + 1) (t + 1)}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común.

$(t + 1) \frac{2}{(t + 1) (t + 1)}$

Paso 4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{t + 1}$