Cálculo Ejemplos

Let $f (x) = \frac{x + 1}{x - 3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 3) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x - 3) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.2

Multiplica $x - 3$ por $1$ .

$\frac{x - 3 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x - 3 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x - 3 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x - 3 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x - 3 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 3 - (x + 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 3 - x - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.2.1

Combina los términos opuestos en $x - 3 - x - 1 \cdot 1$ .

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Paso 1.1.3.2.1.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 3 - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.2

Resta $3$ de $0$ .

$\frac{- 3 - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 3 - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.3

Resta $1$ de $- 3$ .

$\frac{- 4}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{4}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{4}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$- \frac{4}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{4}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{4}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$4 = 0$

Paso 2.3

Como $4 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{4}{{(x - 3)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 3.2.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 4

Evalúa $\frac{x + 1}{x - 3}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 3$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $3$ por $x$ .

$\frac{(3) + 1}{(3) - 3}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{(3) + 1}{0}$

Paso 4.1.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 5

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos