Cálculo Ejemplos

$x^{3} - y^{3} = y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$3 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 x^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} - (3 y^{2} y')$

Paso 2.2.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

Paso 3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x^{2} - 3 y^{2} y' = y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $y'$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} - 3 y^{2} y' - y' = 0$

Paso 5.2

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 y^{2} y' - y' = - 3 x^{2}$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $- 3 y^{2} y' - y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) - y' = - 3 x^{2}$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 3 x^{2}$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' (- 3 y^{2}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 3 y^{2} - 1) = - 3 x^{2}$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (- 3 y^{2} - 1) = - 3 x^{2}$ por $- 3 y^{2} - 1$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (- 3 y^{2} - 1) = - 3 x^{2}$ por $- 3 y^{2} - 1$ .

$\frac{y' (- 3 y^{2} - 1)}{- 3 y^{2} - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2} - 1}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $- 3 y^{2} - 1$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- 3 y^{2} - 1)}{- 3 y^{2} - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2} - 1}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2} - 1}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- 3 y^{2} - 1}$

Paso 5.4.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 3 y^{2}$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- (3 y^{2}) - 1}$

Paso 5.4.3.3

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- (3 y^{2}) - 1 (1)}$

Paso 5.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (3 y^{2}) - 1 (1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- (3 y^{2} + 1)}$

Paso 5.4.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.3.5.1

Reescribe $- (3 y^{2} + 1)$ como $- 1 (3 y^{2} + 1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- 1 (3 y^{2} + 1)}$

Paso 5.4.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - - \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$

Paso 5.4.3.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y' = 1 \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$

Paso 5.4.3.5.4

Multiplica $\frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$