Cálculo Ejemplos

$y = - \frac{1}{24} x^{- 4} - \frac{3}{20} x - x^{3} + \frac{5}{18}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{1}{24} x^{- 4} - \frac{3}{20} x - x^{3} + \frac{5}{18}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{24} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{24} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{24} x^{- 4}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- \frac{1}{24}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{24} x^{- 4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$- \frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 4$ .

$- \frac{1}{24} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$4 (\frac{1}{24}) x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Paso 1.2.4

Combina $4$ y $\frac{1}{24}$ .

$\frac{4}{24} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Paso 1.2.5

Combina $\frac{4}{24}$ y $x^{- 5}$ .

$\frac{4 x^{- 5}}{24} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Paso 1.2.6

Mueve $x^{- 5}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{24 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Paso 1.2.7

Cancela el factor común de $4$ y $24$ .

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Paso 1.2.7.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 (1)}{24 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Paso 1.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.7.2.1

Factoriza $4$ de $24 x^{5}$ .

$\frac{4 (1)}{4 (6 x^{5})} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Paso 1.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 1}{4 (6 x^{5})} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Paso 1.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{6 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- \frac{3}{20}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3}{20} x$ con respecto a $x$ es $- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Paso 1.4.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Paso 1.5

Como $\frac{5}{18}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5}{18}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - 3 x^{2} + 0$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Suma $\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - 3 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - 3 x^{2}$

Paso 1.6.2

Reordena los términos.

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 x^{2} + \frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{6 x^{5}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{5}}$ como ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{5}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{5}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{5}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Paso 2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Paso 2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- x^{- 10} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Paso 2.3.6

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- 5 x^{- 10} x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Paso 2.3.7

Multiplica $x^{- 10}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.7.1

Mueve $x^{4}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- 5 (x^{4} x^{- 10})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Paso 2.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 6 x + \frac{1}{6} (- 5 x^{4 - 10}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Paso 2.3.7.3

Resta $10$ de $4$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- 5 x^{- 6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Paso 2.3.8

Combina $- 5$ y $\frac{1}{6}$ .

$- 6 x + \frac{- 5}{6} x^{- 6} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Paso 2.3.9

Combina $\frac{- 5}{6}$ y $x^{- 6}$ .

$- 6 x + \frac{- 5 x^{- 6}}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Paso 2.3.10

Mueve $x^{- 6}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 x + \frac{- 5}{6 x^{6}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Paso 2.3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 6 x - \frac{5}{6 x^{6}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $- \frac{3}{20}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3}{20}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 6 x - \frac{5}{6 x^{6}} + 0$

Paso 2.4.2

Suma $- 6 x - \frac{5}{6 x^{6}}$ y $0$ .

$f'' (x) = - 6 x - \frac{5}{6 x^{6}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 6 x - \frac{5}{6 x^{6}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$

Paso 3.2.3

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$- 6 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- \frac{5}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{5}{6 x^{6}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$ .

$- 6 - \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{6}}$ como ${(x^{6})}^{- 1}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [{(x^{6})}^{- 1}]$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{6}$ .

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Paso 3.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{6}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Paso 3.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Paso 3.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{6}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- {(x^{6})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- {(x^{6})}^{- 2} (6 x^{5}))$

Paso 3.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{6})}^{- 2}$ .

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Paso 3.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- x^{6 \cdot - 2} (6 x^{5}))$

Paso 3.3.5.2

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- x^{- 12} (6 x^{5}))$

Paso 3.3.6

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- 6 x^{- 12} x^{5})$

Paso 3.3.7

Multiplica $x^{- 12}$ por $x^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.7.1

Mueve $x^{5}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- 6 (x^{5} x^{- 12}))$

Paso 3.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 6 - \frac{5}{6} (- 6 x^{5 - 12})$

Paso 3.3.7.3

Resta $12$ de $5$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- 6 x^{- 7})$

Paso 3.3.8

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$- 6 + 6 (\frac{5}{6}) x^{- 7}$

Paso 3.3.9

Combina $6$ y $\frac{5}{6}$ .

$- 6 + \frac{6 \cdot 5}{6} x^{- 7}$

Paso 3.3.10

Multiplica $6$ por $5$ .

$- 6 + \frac{30}{6} x^{- 7}$

Paso 3.3.11

Combina $\frac{30}{6}$ y $x^{- 7}$ .

$- 6 + \frac{30 x^{- 7}}{6}$

Paso 3.3.12

Mueve $x^{- 7}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 + \frac{30}{6 x^{7}}$

Paso 3.3.13

Cancela el factor común de $30$ y $6$ .

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Paso 3.3.13.1

Factoriza $6$ de $30$ .

$- 6 + \frac{6 \cdot 5}{6 x^{7}}$

Paso 3.3.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.13.2.1

Factoriza $6$ de $6 x^{7}$ .

$- 6 + \frac{6 \cdot 5}{6 (x^{7})}$

Paso 3.3.13.2.2

Cancela el factor común.

$- 6 + \frac{6 \cdot 5}{6 x^{7}}$

Paso 3.3.13.2.3

Reescribe la expresión.

$- 6 + \frac{5}{x^{7}}$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$f''' (x) = \frac{5}{x^{7}} - 6$