Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) - \tan (2 x)}{5 x}$

Paso 1

Mueve el término $\frac{1}{5}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) - \tan (2 x)}{x}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) - \tan (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) - \tan (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.2.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 0) - \tan (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 0) - \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.7.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (0) - \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.7.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 - \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.7.1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 - \tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.7.1.4

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.7.1.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.7.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) - \tan (2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (3 x) - \tan (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

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Paso 2.3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.1.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.5

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (3 x)$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]$ .

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Paso 2.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \tan (2 x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4.2.2

La derivada de $\tan (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \sec^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \sec^{2} (2 x) \cdot 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \sec^{2} (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - 1 \cdot 2 \cdot \sec^{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - 2 \sec^{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - 2 \sec^{2} (2 x)}{1}$

Paso 2.4

Divide $3 \cos (3 x) - 2 \sec^{2} (2 x)$ por $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) - 2 \sec^{2} (2 x)$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{5} (lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) - lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (2 x))$

Paso 3.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{5} (3 lim_{x \to 0} \cos (3 x) - lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (2 x))$

Paso 3.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{5} (3 \cos (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (2 x))$

Paso 3.4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (2 x))$

Paso 3.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x))$

Paso 3.6

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (2 x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 2 {(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{2})$

Paso 3.7

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 2 x))$

Paso 3.8

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 2 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x))$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 \cdot 0) - 2 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x))$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 \cdot 0) - 2 \sec^{2} (2 \cdot 0))$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (0) - 2 \sec^{2} (2 \cdot 0))$

Paso 5.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{5} (3 \cdot 1 - 2 \sec^{2} (2 \cdot 0))$

Paso 5.1.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{5} (3 - 2 \sec^{2} (2 \cdot 0))$

Paso 5.1.4

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1}{5} (3 - 2 \sec^{2} (0))$

Paso 5.1.5

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{5} (3 - 2 \cdot 1^{2})$

Paso 5.1.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{5} (3 - 2 \cdot 1)$

Paso 5.1.7

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{5} (3 - 2)$

Paso 5.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{1}{5} \cdot 1$

Paso 5.3

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$\frac{1}{5}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{5}$

Forma decimal:

$0.2$