Cálculo Ejemplos

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 x)}^{2}}} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 (x))}^{2}}} d x$

Paso 1.2

Aplica la regla del producto a $2 (x)$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (2^{2} x^{2})}} d x$

Paso 1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (4 x^{2})}} d x$

Paso 1.4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Paso 1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Paso 2

Sea $x = \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ es positiva.

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Simplifica $\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Paso 3.1.2

Factoriza $4$ de $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Paso 3.1.3

Factoriza $4$ de $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Paso 3.1.4

Aplica la identidad pitagórica.

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Paso 3.1.5

Reescribe $4 \cos^{2} (t)$ como ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Paso 3.1.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) (2 \cos (t))} \cos (t) d t$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$\int - \frac{1}{8 \sin (t) \cos (t)} \cos (t) d t$

Paso 3.2.2

Combina $\cos (t)$ y $\frac{1}{8 \sin (t) \cos (t)}$ .

$\int - \frac{\cos (t)}{8 \sin (t) \cos (t)} d t$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común de $\cos (t)$ .

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Paso 3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\int - \frac{\cos (t)}{8 \sin (t) \cos (t)} d t$

Paso 3.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\int - \frac{1}{8 \sin (t)} d t$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{8 \sin (t)} d t$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{8} \int \frac{1}{\sin (t)} d t)$

Paso 6

Convierte de $\frac{1}{\sin (t)}$ a $\csc (t)$ .

$- \frac{1}{8} \int \csc (t) d t$

Paso 7

La integral de $\csc (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$- \frac{1}{8} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Paso 8

Simplifica.

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (x)$ .

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (\arcsin (x)) - \cot (\arcsin (x)) |) + C$