Cálculo Ejemplos

$\frac{2 x + 3}{x^{2}}$

Paso 1

Escribe $\frac{2 x + 3}{x^{2}}$ como una función.

$f (x) = \frac{2 x + 3}{x^{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{2 x + 3}{x^{2}} d x$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (2 x + 3) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x + 3) x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int (2 x + 3) x^{- 2} d x$

Paso 5

Multiplica $(2 x + 3) x^{- 2}$ .

$\int 2 x \cdot x^{- 2} + 3 x^{- 2} d x$

Paso 6

Multiplica $x$ por $x^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1

Mueve $x^{- 2}$ .

$\int 2 (x^{- 2} x) + 3 x^{- 2} d x$

Paso 6.2

Multiplica $x^{- 2}$ por $x$ .

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Paso 6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int 2 (x^{- 2} x^{1}) + 3 x^{- 2} d x$

Paso 6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 2 x^{- 2 + 1} + 3 x^{- 2} d x$

Paso 6.3

Suma $- 2$ y $1$ .

$\int 2 x^{- 1} + 3 x^{- 2} d x$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 x^{- 1} d x + \int 3 x^{- 2} d x$

Paso 8

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int x^{- 1} d x + \int 3 x^{- 2} d x$

Paso 9

La integral de $x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int 3 x^{- 2} d x$

Paso 10

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{- 2} d x$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C)$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica.

$2 \ln (| x |) + 3 (- \frac{1}{x}) + C$

Paso 12.2

Simplifica.

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Paso 12.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$2 \ln (| x |) - 3 \frac{1}{x} + C$

Paso 12.2.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{x}$ .

$2 \ln (| x |) + \frac{- 3}{x} + C$

Paso 12.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$

Paso 13

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{2 x + 3}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$