Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Paso 1

Sea $x = \tan (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ es positiva.

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{1}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $\sec (t)$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $\sec (t)$ de $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Paso 2.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \sec (t) d t$

Paso 3

La integral de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arctan (x)$ .

$\ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$