Cálculo Ejemplos

$(x - 1) \sqrt{x}$

Paso 1

Escribe $(x - 1) \sqrt{x}$ como una función.

$f (x) = (x - 1) \sqrt{x}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int (x - 1) \sqrt{x} d x$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (x - 1) x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 5

Expande $(x - 1) x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 5.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 5.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int x^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 5.6

Suma $2$ y $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 10

Simplifica.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = (x - 1) \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$