Cálculo Ejemplos

Let $g (x) = \frac{x^{2} - 3}{x + 2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 3$ y $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 0) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 x) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x + 2$ .

$\frac{2 \cdot (x + 2) x - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 2) x - (x^{2} - 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 2 x - (x^{2} - 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 2 x - x^{2} - - 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot 2 x - x^{2} - - 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 2 x - x^{2} - - 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - x^{2} - - 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - x^{2} + 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5

Factoriza $x^{2} + 4 x + 3$ con el método AC.

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Paso 1.1.3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $3$ y cuya suma es $4$ .

$1, 3$

Paso 1.1.3.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$f' (x) = \frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$(x + 1) (x + 3) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 2.3.2

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.3.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.3.3

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 2.3.3.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = - 1, - 3$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x + 2)}^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 3.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 4

Evalúa $\frac{x^{2} - 3}{x + 2}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = - 1$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} - 3}{(- 1) + 2}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1 - 3}{- 1 + 2}$

Paso 4.1.2.1.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{- 2}{- 1 + 2}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.2.1

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{- 2}{1}$

Paso 4.1.2.2.2

Divide $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - 3$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- 3$ por $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} - 3}{(- 3) + 2}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{9 - 3}{- 3 + 2}$

Paso 4.2.2.1.2

Resta $3$ de $9$ .

$\frac{6}{- 3 + 2}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.2.1

Suma $- 3$ y $2$ .

$\frac{6}{- 1}$

Paso 4.2.2.2.2

Divide $6$ por $- 1$ .

$- 6$

Paso 4.3

Evalúa en $x = - 2$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

$\frac{{(- 2)}^{2} - 3}{(- 2) + 2}$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$\frac{{(- 2)}^{2} - 3}{0}$

Paso 4.3.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(- 1, - 2), (- 3, - 6)$

Paso 5