Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Paso 1.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 1.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Paso 1.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$- 2 x^{- 3}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 1.3.2

Combina los términos.

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Paso 1.3.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Paso 1.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{x^{3}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}}$

Paso 2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1}$

Paso 2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{3 \cdot - 1}$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{- 3}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$f'' (x) = - 2 (- 3 x^{- 4})$

Paso 2.4

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 6 x^{- 4}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{x^{4}})$

Paso 2.5.2

Combina $6$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{x^{4}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{2}{x^{3}} = 0$

Paso 4

Como no hay ningún valor de $x$ que haga que la primera derivada sea igual a $0$ , no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 5

No hay extremos locales

Paso 6