Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \frac{2 \arctan (x)}{1 + x^{2}} d x$

Paso 1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{0}^{1} \frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2

Sea $u = \arctan (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$ , de modo que $- d u = \frac{- 1}{x^{2} + 1} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Deja $u = \arctan (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Diferencia $\arctan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Paso 2.1.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

Paso 2.1.4

Reorganiza los términos.

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \arctan (x)$ .

$u_{lower} = \arctan (0)$

Paso 2.3

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \arctan (x)$ .

$u_{upper} = \arctan (1)$

Paso 2.5

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} u d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Paso 4

Combina $\frac{1}{2}$ y $u^{2}$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Evalúa $\frac{u^{2}}{2}$ en $\frac{π}{4}$ y en $0$ .

$2 ((\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 5.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Paso 5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})$

Paso 5.2.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - 0)$

Paso 5.2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} + 0)$

Paso 5.2.4

Suma $\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$ y $0$ .

$2 \frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$

Paso 6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$

Paso 6.1.2

Reescribe la expresión.

${(\frac{π}{4})}^{2}$

Paso 6.2

Aplica la regla del producto a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π^{2}}{4^{2}}$

Paso 6.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{π^{2}}{16}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π^{2}}{16}$

Forma decimal:

$0.61685027 \dots$