Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{5} - \frac{2}{x^{3}} - 4 x + 2$ ?

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} - \frac{2}{x^{3}} - 4 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$5 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$5 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3}$ .

$5 x^{4} - 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$5 x^{4} - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$5 x^{4} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 x^{4} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 1.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 x^{4} - 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$5 x^{4} - 2 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$5 x^{4} - 2 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.7

Multiplica $x^{- 6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$5 x^{4} - 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x^{4} - 2 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$5 x^{4} - 2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.8

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 + 0$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 x^{4} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 + 0$

Paso 1.5.2

Combina los términos.

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Paso 1.5.2.1

Combina $6$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4 + 0$

Paso 1.5.2.2

Suma $5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4$ y $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.2.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{6}{x^{4}}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$20 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$20 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{4}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4}$ .

$20 x^{3} + 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$20 x^{3} + 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4}$ .

$20 x^{3} + 6 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$20 x^{3} + 6 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Paso 2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 x^{3} + 6 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$20 x^{3} + 6 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.3.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$20 x^{3} + 6 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.3.7

Multiplica $x^{- 8}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.7.1

Mueve $x^{3}$ .

$20 x^{3} + 6 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$20 x^{3} + 6 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.3.7.3

Resta $8$ de $3$ .

$20 x^{3} + 6 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.3.8

Multiplica $- 4$ por $6$ .

$20 x^{3} - 24 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$20 x^{3} - 24 x^{- 5} + 0$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 x^{3} - 24 \frac{1}{x^{5}} + 0$

Paso 2.5.2

Combina los términos.

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Paso 2.5.2.1

Combina $- 24$ y $\frac{1}{x^{5}}$ .

$20 x^{3} + \frac{- 24}{x^{5}} + 0$

Paso 2.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}} + 0$

Paso 2.5.2.3

Suma $20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}}$ y $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20 x^{3}$ con respecto a $x$ es $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Paso 3.2.3

Multiplica $3$ por $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{24}{x^{5}}$ con respecto a $x$ es $- 24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$60 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{5}}$ como ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$60 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{5}$ .

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Paso 3.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{5}$ .

$60 x^{2} - 24 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 3.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$60 x^{2} - 24 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 3.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{5}$ .

$60 x^{2} - 24 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$60 x^{2} - 24 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Paso 3.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$60 x^{2} - 24 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Paso 3.3.5.2

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$60 x^{2} - 24 (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Paso 3.3.6

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$60 x^{2} - 24 (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Paso 3.3.7

Multiplica $x^{- 10}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.7.1

Mueve $x^{4}$ .

$60 x^{2} - 24 (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Paso 3.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$60 x^{2} - 24 (- 5 x^{4 - 10})$

Paso 3.3.7.3

Resta $10$ de $4$ .

$60 x^{2} - 24 (- 5 x^{- 6})$

Paso 3.3.8

Multiplica $- 5$ por $- 24$ .

$60 x^{2} + 120 x^{- 6}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$60 x^{2} + 120 \frac{1}{x^{6}}$

Paso 3.4.2

Combina $120$ y $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f''' (x) = 60 x^{2} + \frac{120}{x^{6}}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $60 x^{2} + \frac{120}{x^{6}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

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Paso 4.2.1

Como $60$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $60 x^{2}$ con respecto a $x$ es $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$60 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$

Paso 4.2.3

Multiplica $2$ por $60$ .

$120 x + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$ .

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Paso 4.3.1

Como $120$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{120}{x^{6}}$ con respecto a $x$ es $120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$ .

$120 x + 120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$

Paso 4.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{6}}$ como ${(x^{6})}^{- 1}$ .

$120 x + 120 \frac{d}{d x} [{(x^{6})}^{- 1}]$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{6}$ .

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Paso 4.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{6}$ .

$120 x + 120 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Paso 4.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$120 x + 120 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Paso 4.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{6}$ .

$120 x + 120 (- {(x^{6})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Paso 4.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$120 x + 120 (- {(x^{6})}^{- 2} (6 x^{5}))$

Paso 4.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{6})}^{- 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$120 x + 120 (- x^{6 \cdot - 2} (6 x^{5}))$

Paso 4.3.5.2

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$120 x + 120 (- x^{- 12} (6 x^{5}))$

Paso 4.3.6

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$120 x + 120 (- 6 x^{- 12} x^{5})$

Paso 4.3.7

Multiplica $x^{- 12}$ por $x^{5}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.7.1

Mueve $x^{5}$ .

$120 x + 120 (- 6 (x^{5} x^{- 12}))$

Paso 4.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$120 x + 120 (- 6 x^{5 - 12})$

Paso 4.3.7.3

Resta $12$ de $5$ .

$120 x + 120 (- 6 x^{- 7})$

Paso 4.3.8

Multiplica $- 6$ por $120$ .

$120 x - 720 x^{- 7}$

Paso 4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$120 x - 720 \frac{1}{x^{7}}$

Paso 4.4.2

Combina los términos.

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Paso 4.4.2.1

Combina $- 720$ y $\frac{1}{x^{7}}$ .

$120 x + \frac{- 720}{x^{7}}$

Paso 4.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{4} (x) = 120 x - \frac{720}{x^{7}}$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $120 x - \frac{720}{x^{7}}$ .

$120 x - \frac{720}{x^{7}}$