Cálculo Ejemplos

$\int \sqrt{7 - x^{2}} d x$

Paso 1

Sea $x = \sqrt{7} \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \sqrt{7} \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sqrt{7} \cos (t)$ es positiva.

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} - {(\sqrt{7} \sin (t))}^{2}} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{{\sqrt{7}}^{2} - {(\sqrt{7} \sin (t))}^{2}}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla del producto a $\sqrt{7} \sin (t)$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} - ({\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Paso 2.1.2

Multiplica por $1$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Paso 2.1.3

Factoriza ${\sqrt{7}}^{2}$ de $- ({\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{7}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Paso 2.1.4

Factoriza ${\sqrt{7}}^{2}$ de ${\sqrt{7}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{7}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Paso 2.1.6

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 2.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Paso 2.1.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{7^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Paso 2.1.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int \sqrt{7^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Paso 2.1.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$\int \sqrt{7^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Paso 2.1.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\int \sqrt{7^{1} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Paso 2.1.6.5

Evalúa el exponente.

$\int \sqrt{7 \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

$\int \sqrt{7 \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Paso 2.1.7

Reordena $7$ y $\cos^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 7} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Paso 2.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$\int \cos (t) \sqrt{7} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

Paso 2.2.2

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

Paso 2.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

Paso 2.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\int \cos^{2} (t) \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

Paso 2.2.5

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}) d t$

Paso 2.2.6

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}) d t$

Paso 2.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{7}}^{1 + 1} d t$

Paso 2.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{7}}^{2} d t$

Paso 2.2.9

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 2.2.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \cos^{2} (t) {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

Paso 2.2.9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

Paso 2.2.9.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{\frac{2}{2}} d t$

Paso 2.2.9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.9.4.1

Cancela el factor común.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{\frac{2}{2}} d t$

Paso 2.2.9.4.2

Reescribe la expresión.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{1} d t$

Paso 2.2.9.5

Evalúa el exponente.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7 d t$

Paso 2.2.10

Mueve $7$ a la izquierda de $\cos^{2} (t)$ .

$\int 7 \cos^{2} (t) d t$

Paso 3

Dado que $7$ es constante con respecto a $t$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$7 \int \cos^{2} (t) d t$

Paso 4

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$7 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$7 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Paso 6

Combina $\frac{1}{2}$ y $7$ .

$\frac{7}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{7}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$\frac{7}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Paso 9

Sea $u = 2 t$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 9.1

Deja $u = 2 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 9.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 9.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{7}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 10

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{7}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Paso 12

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{7}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Paso 13

Simplifica.

$\frac{7}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Paso 14

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 14.1

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Paso 14.2

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Paso 14.3

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}))) + C$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}))) + C$

Paso 15.1.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 15.1.2.1

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}))) + C$

Paso 15.1.2.2

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}))) + C$

Paso 15.1.2.3

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}))) + C$

Paso 15.1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}))) + C$

Paso 15.1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}))) + C$

Paso 15.1.2.6

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 15.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}))) + C$

Paso 15.1.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}))) + C$

Paso 15.1.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}))) + C$

Paso 15.1.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.1.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}))) + C$

Paso 15.1.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{1}}))) + C$

Paso 15.1.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))) + C$

Paso 15.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2}) + C$

Paso 15.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7}{2} \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{7}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2} + C$

Paso 15.3

Combina $\frac{7}{2}$ y $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2} + C$

Paso 15.4

Multiplica $\frac{7}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2}$ .

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Paso 15.4.1

Multiplica $\frac{7}{2}$ por $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2}$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2 \cdot 2} + C$

Paso 15.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Paso 16.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 16.2.1

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Paso 16.2.2

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Paso 16.2.3

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Paso 16.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Paso 16.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Paso 16.2.6

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 16.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Paso 16.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Paso 16.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Paso 16.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 16.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Paso 16.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{1}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Paso 16.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Paso 16.3

Reordena los términos.

$\frac{7}{2} \arcsin (\frac{\sqrt{7}}{7} x) + \frac{7}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{7}}{7} x)) + C$