Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 2} \frac{\sqrt[3]{x - 6} + 2}{x^{3} + 8}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - 2} \sqrt[3]{x - 6} + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} \sqrt[3]{x - 6} + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 2} x - 6} + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Paso 1.1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 6} + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Paso 1.1.2.1.4

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 6} + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Paso 1.1.2.1.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 6} + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{- 2 - 1 \cdot 6} + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{\sqrt[3]{- 2 - 6} + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Resta $6$ de $- 2$ .

$\frac{\sqrt[3]{- 8} + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Reescribe $- 8$ como ${(- 2)}^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(- 2)}^{3}} + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Paso 1.1.2.3.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$\frac{- 2 + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Paso 1.1.2.3.2

Suma $- 2$ y $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{3} + lim_{x \to - 2} 8}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + lim_{x \to - 2} 8}$

Paso 1.1.3.1.3

Evalúa el límite de $8$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 8}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{0}{{(- 2)}^{3} + 8}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{0}{- 8 + 8}$

Paso 1.1.3.3.2

Suma $- 8$ y $8$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - 2} \frac{\sqrt[3]{x - 6} + 2}{x^{3} + 8} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x - 6} + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x - 6} + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt[3]{x - 6} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x - 6}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x - 6}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x - 6}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x - 6}$ como ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = x - 6$ .

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Paso 1.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 6$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Paso 1.3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Paso 1.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 6$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Paso 1.3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Paso 1.3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Paso 1.3.3.5

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Paso 1.3.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Paso 1.3.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Paso 1.3.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Paso 1.3.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Paso 1.3.3.9.2

Resta $3$ de $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Paso 1.3.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Paso 1.3.3.11

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Paso 1.3.3.12

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{{(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Paso 1.3.3.13

Multiplica $\frac{{(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ por $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{{(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Paso 1.3.3.14

Mueve ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Paso 1.3.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Paso 1.3.5

Suma $\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ y $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8]}$

Paso 1.3.8

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{2} + 0}$

Paso 1.3.9

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{2}}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

Paso 1.5

Combina factores.

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Paso 1.5.1

Multiplica $\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{1}{3 x^{2}}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 x^{2})}$

Paso 1.5.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{9 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} x^{2}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{9}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to - 2} \frac{1}{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} x^{2}}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} x^{2}}$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 2} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} x^{2}}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 2} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Paso 2.5

Mueve el exponente $\frac{2}{3}$ de ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to - 2} x - 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Paso 2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Paso 2.7

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Paso 2.8

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot {(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{{(- 2 - 1 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot {(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{{(- 2 - 1 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot {(- 2)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Combinar.

$\frac{1 \cdot 1}{9 ({(- 2 - 1 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot {(- 2)}^{2})}$

Paso 4.2

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1}{9 {(- 2 - 1 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot {(- 2)}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{1}{9 {(- 2 - 6)}^{\frac{2}{3}} {(- 2)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Resta $6$ de $- 2$ .

$\frac{1}{9 {(- 8)}^{\frac{2}{3}} {(- 2)}^{2}}$

Paso 4.3.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{9 {(- 8)}^{\frac{2}{3}} \cdot 4}$

Paso 4.3.4

Multiplica $4$ por $9$ .

$\frac{1}{36 {(- 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.3.5

Reescribe $- 8$ como ${(- 2)}^{3}$ .

$\frac{1}{36 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.3.6

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{36 {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Paso 4.3.7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{36 {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Paso 4.3.7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{36 {(- 2)}^{2}}$

Paso 4.3.8

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{36 \cdot 4}$

Paso 4.4

Multiplica $36$ por $4$ .

$\frac{1}{144}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{144}$

Forma decimal:

$0.0069\overline{4}$