Cálculo Ejemplos

$3 x^{2} \sqrt{5 x + 3}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 x + 3}$ como ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 5 x + 3$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x + 3$ .

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x + 3$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 (x^{2} (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (x^{2} (\frac{{(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 8.3

Mueve ${(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 8.4

Combina $\frac{1}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3] + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 10

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 12

Multiplica $5$ por $1$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 + \frac{d}{d x} [3]) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 13

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 + 0) + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 14

Combina fracciones.

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Paso 14.1

Suma $5$ y $0$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 5 + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 14.2

Combina $\frac{x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ y $5$ .

$3 (\frac{x^{2} \cdot 5}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 14.3

Mueve $5$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$3 (\frac{5 \cdot x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

Paso 16

Mueve $2$ a la izquierda de ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} x)$

Paso 17

Combina $\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ y $2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} x$ mediante un denominador común.

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Paso 17.1

Mueve ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 17.2

Para escribir $2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 (\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 17.3

Combina $2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 (\frac{5 x^{2}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 17.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 \frac{5 x^{2} + 2 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 18

Multiplica $2$ por $2$ .

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 19

Multiplica ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 19.1

Mueve ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 19.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 19.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x {(5 x + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 19.4

Suma $1$ y $1$ .

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x {(5 x + 3)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 19.5

Divide $2$ por $2$ .

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x {(5 x + 3)}^{1}}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 20

Simplifica $4 x {(5 x + 3)}^{1}$ .

$3 \frac{5 x^{2} + 4 x (5 x + 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 21

Combina $3$ y $\frac{5 x^{2} + 4 x (5 x + 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (5 x^{2} + 4 x (5 x + 3))}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22

Simplifica.

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Paso 22.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (5 x^{2} + 4 x (5 x) + 4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (5 x^{2}) + 3 (4 x (5 x)) + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.3

Simplifica el numerador.

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Paso 22.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 22.3.1.1

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{15 x^{2} + 3 (4 x (5 x)) + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 22.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{15 x^{2} + 3 (4 (x \cdot x) \cdot 5) + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{15 x^{2} + 3 (4 x^{2} \cdot 5) + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.3.1.3

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{15 x^{2} + 3 (20 x^{2}) + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.3.1.4

Multiplica $20$ por $3$ .

$\frac{15 x^{2} + 60 x^{2} + 3 (4 x \cdot 3)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.3.1.5

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{15 x^{2} + 60 x^{2} + 3 (12 x)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.3.1.6

Multiplica $12$ por $3$ .

$\frac{15 x^{2} + 60 x^{2} + 36 x}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.3.2

Suma $15 x^{2}$ y $60 x^{2}$ .

$\frac{75 x^{2} + 36 x}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.4

Factoriza $3 x$ de $75 x^{2} + 36 x$ .

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Paso 22.4.1

Factoriza $3 x$ de $75 x^{2}$ .

$\frac{3 x (25 x) + 36 x}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.4.2

Factoriza $3 x$ de $36 x$ .

$\frac{3 x (25 x) + 3 x (12)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.4.3

Factoriza $3 x$ de $3 x (25 x) + 3 x (12)$ .

$\frac{3 x (25 x + 12)}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$