Cálculo Ejemplos

$\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 2 \sqrt{x^{3}}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 2 \sqrt{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{x}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{x}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{x}}{2}]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

Paso 2.2

Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

Paso 2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

Paso 2.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

Paso 2.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

Paso 2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

Paso 2.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

Paso 2.10

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

Paso 2.11

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

Paso 2.12

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$ .

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 3.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Paso 3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 3.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Paso 3.7.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Paso 3.8

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 3.9

Combina $- 2$ y $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Paso 3.10

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 6 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 3.11

Factoriza $2$ de $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Paso 3.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.12.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Paso 3.12.2

Cancela el factor común.

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Paso 3.12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{1}$

Paso 3.12.4

Divide $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 4

Reordena los términos.

$- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}}$