Cálculo Ejemplos

$\int (\sin (2 x) + \cos (2 x)) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int \sin (2 x) + \cos (2 x) d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \sin (2 x) d x + \int \cos (2 x) d x$

Paso 3

Sea $u_{1} = 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{1} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 3.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 3.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

Paso 4

Combina $\sin (u_{1})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

Paso 6

La integral de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (2 x) d x$

Paso 7

Sea $u_{2} = 2 x$ . Entonces $d u_{2} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 7.1

Deja $u_{2} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 7.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 7.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 8

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Paso 10

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)$

Paso 11

Simplifica.

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

Paso 12

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 12.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

Paso 12.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$

Paso 13

Reordena los términos.

$- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$