Cálculo Ejemplos

$\int_{- \frac{π}{2}}^{- \frac{π}{4}} - 2 \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Paso 1

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$- 2 \int_{- \frac{π}{2}}^{- \frac{π}{4}} \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Paso 2

Sea $u = \csc (x)$ . Entonces $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Deja $u = \csc (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Diferencia $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Paso 2.1.3

Reordena los factores de $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \csc (x)$ .

$u_{lower} = \csc (- \frac{π}{2})$

Paso 2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{3 π}{2})$

Paso 2.3.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la cosecante es negativa en el cuarto cuadrante.

$u_{lower} = - \csc (\frac{π}{2})$

Paso 2.3.3

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Paso 2.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \csc (x)$ .

$u_{upper} = \csc (- \frac{π}{4})$

Paso 2.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{7 π}{4})$

Paso 2.5.2

$u_{upper} = - \csc (\frac{π}{4})$

Paso 2.5.3

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{4})$ es $\sqrt{2}$ .

$u_{upper} = - \sqrt{2}$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - \sqrt{2}$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$- 2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} - 1 u d u$

Paso 3

Reescribe $- 1 u$ como $- u$ .

$- 2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} - u d u$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- 2 (- \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} u d u)$

Paso 5

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} u d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{- \sqrt{2}})$

Paso 7

Combina $\frac{1}{2}$ y $u^{2}$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{- 1}^{- \sqrt{2}})$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Evalúa $\frac{u^{2}}{2}$ en $- \sqrt{2}$ y en $- 1$ .

$2 ((\frac{{(- \sqrt{2})}^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 8.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{2}$ .

$2 (\frac{{(- (\sqrt{2}))}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 8.2.2

Aplica la regla del producto a $- (\sqrt{2})$ .

$2 (\frac{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 8.2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$2 (\frac{1 {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 8.2.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{1 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 8.2.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 8.2.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 8.2.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.4.4.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 8.2.4.4.2

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{1 \cdot 2^{1}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 8.2.4.5

Evalúa el exponente.

$2 (\frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 8.2.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 8.2.6

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.6.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 8.2.6.2

Reescribe la expresión.

$2 (1 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 8.2.7

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$2 (1 - \frac{1}{2})$

Paso 8.2.8

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 8.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \frac{2 - 1}{2}$

Paso 8.2.10

Resta $1$ de $2$ .

$2 (\frac{1}{2})$

Paso 8.2.11

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2}$

Paso 8.2.12

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.12.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2}$

Paso 8.2.12.2

Reescribe la expresión.

$1$