Cálculo Ejemplos

$\cos (2 x + 3 y^{3}) = 3 y^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\cos (2 x + 3 y^{3})) = \frac{d}{d x} (3 y^{2})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x + 3 y^{3}$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x + 3 y^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x + 3 y^{3}]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x + 3 y^{3}]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x + 3 y^{3}$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) \frac{d}{d x} [2 x + 3 y^{3}]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 3 y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}])$

Paso 2.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}])$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y^{3}])$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + \frac{d}{d x} [3 y^{3}])$

Paso 2.2.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 3 \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 3 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 2.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 (y^{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 2.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 y^{2} y')$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 (y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 y y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 y^{2} y') = 6 y y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Simplifica $- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 y^{2} y')$ .

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Paso 5.1.1.1

Reescribe.

$0 + 0 - \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 y^{2} y') = 6 y y'$

Paso 5.1.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 y^{2} y') = 6 y y'$

Paso 5.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) \cdot 2 - \sin (2 x + 3 y^{3}) (9 y^{2} y') = 6 y y'$

Paso 5.1.1.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.1.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x + 3 y^{3}) - \sin (2 x + 3 y^{3}) (9 y^{2} y') = 6 y y'$

Paso 5.1.1.4.2

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x + 3 y^{3}) - 9 \sin (2 x + 3 y^{3}) (y^{2} y') = 6 y y'$

Paso 5.1.1.4.3

Reordena los factores en $- 2 \sin (2 x + 3 y^{3}) - 9 \sin (2 x + 3 y^{3}) (y^{2} y')$ .

$- 2 \sin (2 x + 3 y^{3}) - 9 y^{2} y' \sin (2 x + 3 y^{3}) = 6 y y'$

Paso 5.2

Resta $6 y y'$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \sin (2 x + 3 y^{3}) - 9 y^{2} y' \sin (2 x + 3 y^{3}) - 6 y y' = 0$

Paso 5.3

Suma $2 \sin (2 x + 3 y^{3})$ a ambos lados de la ecuación.

$- 9 y^{2} y' \sin (2 x + 3 y^{3}) - 6 y y' = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$

Paso 5.4

Factoriza $3 y y'$ de $- 9 y^{2} y' \sin (2 x + 3 y^{3}) - 6 y y'$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $3 y y'$ de $- 9 y^{2} y' \sin (2 x + 3 y^{3})$ .

$3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) - 6 y y' = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$

Paso 5.4.2

Factoriza $3 y y'$ de $- 6 y y'$ .

$3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) + 3 y y' \cdot - 2 = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$

Paso 5.4.3

Factoriza $3 y y'$ de $3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) + 3 y y' \cdot - 2$ .

$3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2) = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$

Paso 5.5

Divide cada término en $3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2) = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$ por $3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2) = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$ por $3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)$ .

$\frac{3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

Paso 5.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

Paso 5.5.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

Paso 5.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

Paso 5.5.2.3

Cancela el factor común de $- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2$ .

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Paso 5.5.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

Paso 5.5.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Factoriza $- 1$ de $- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3})$ .

$y' = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- (3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) - 2)}$

Paso 5.5.3.2

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- (3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) - 1 (2))}$

Paso 5.5.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) - 1 (2)$ .

$y' = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2))}$

Paso 5.5.3.4

Reescribe los negativos.

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Paso 5.5.3.4.1

Reescribe $- (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)$ como $- 1 (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)$ .

$y' = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 1 (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2))}$

Paso 5.5.3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{(3 y) (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)}$

Paso 5.5.3.4.3

Reordena los factores en $- \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{(3 y) (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)}$ .

$y' = - \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)}$