Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sqrt{1 + \sin (x)} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 + \sin (x)$ . Entonces $d u = \cos (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 + \sin (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.1.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Paso 1.1.4

Suma $0$ y $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 + \sin (x)$ .

$u_{lower} = 1 + \sin (0)$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Paso 1.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 + \sin (x)$ .

$u_{upper} = 1 + \sin (\frac{π}{2})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Paso 1.5.2

Suma $1$ y $1$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{2} \sqrt{u} d u$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $2$ y en $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $2^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $2^{\frac{3}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.2.1

Multiplica $2$ por $2^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.2.4

Suma $2$ y $3$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Paso 4.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 4.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

Forma decimal:

$1.21895141 \dots$