Cálculo Ejemplos

$\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2} + x^{2}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2} + x^{2}}]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{1}{y^{2} + x^{2}}$ como ${(y^{2} + x^{2})}^{- 1}$ .

$y \frac{d}{d x} [{(y^{2} + x^{2})}^{- 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = y^{2} + x^{2}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y^{2} + x^{2}$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{2} + x^{2}$ .

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Paso 3.2

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Paso 3.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y (- 2 {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (- 2 \frac{1}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}} x)$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$ .

$y (\frac{- 2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}} x)$

Paso 4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y (- \frac{2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}} x)$

Paso 4.2.3

Combina $x$ y $\frac{2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$ .

$y (- \frac{x \cdot 2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}})$

Paso 4.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$y (- \frac{2 \cdot x}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}})$

Paso 4.2.5

Combina $y$ y $\frac{2 x}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{y (2 x)}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Paso 4.2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$- \frac{2 y x}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$