Cálculo Ejemplos

$\sqrt{2 x - x^{2}}$

Paso 1

Escribe $\sqrt{2 x - x^{2}}$ como una función.

$f (x) = \sqrt{2 x - x^{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \sqrt{2 x - x^{2}} d x$

Paso 4

Completa el cuadrado.

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Paso 4.1

Reordena $2 x$ y $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x$

Paso 4.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

Paso 4.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 4.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{- 1}$

Paso 4.4.2.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Paso 4.4.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 4.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 4.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 4.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Paso 4.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Paso 4.5.2.1.3

Divide $4$ por $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Paso 4.5.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Paso 4.5.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$e = 1$

Paso 4.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(x - 1)}^{2} + 1$ .

$\int \sqrt{- {(x - 1)}^{2} + 1} d x$

Paso 5

Sea $u_{1} = x - 1$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{1} = x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 5.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$

Paso 6

Sea $u_{1} = \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d u_{1} = \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ es positiva.

$\int \sqrt{- \sin^{2} (t) + 1} \cos (t) d t$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Simplifica $\sqrt{- \sin^{2} (t) + 1}$ .

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Paso 7.1.1

Reordena $- \sin^{2} (t)$ y $1$ .

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Paso 7.1.2

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Paso 7.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \cos (t) \cos (t) d t$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Paso 7.2.2

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Paso 7.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Paso 7.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\int \cos^{2} (t) d t$

Paso 8

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 10

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Paso 11

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Paso 12

Sea $u_{2} = 2 t$ . Entonces $d u_{2} = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 12.1

Deja $u_{2} = 2 t$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Paso 12.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 12.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 12.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 12.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 12.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Paso 13

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Paso 14

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Paso 15

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Paso 16

Simplifica.

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Paso 17

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 17.1

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Paso 17.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Paso 17.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Paso 17.4

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (u_{1}))) + C$

Paso 17.5

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x - 1))) + C$

Paso 18

Simplifica.

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Paso 18.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 \arcsin (x - 1))$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2}) + C$

Paso 18.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2} + C$

Paso 18.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $\arcsin (x - 1)$ .

$\frac{\arcsin (x - 1)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2} + C$

Paso 18.4

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2}$ .

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Paso 18.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x - 1)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2 \cdot 2} + C$

Paso 18.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\arcsin (x - 1)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{4} + C$

Paso 19

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} \arcsin (x - 1) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x - 1)) + C$

Paso 20

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \sqrt{2 x - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \arcsin (x - 1) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x - 1)) + C$