Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)}$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)} d x$

Paso 4

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 4.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 4.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Paso 4.1.2

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - 2 x}$

Paso 4.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(1 + x) (1 - 2 x)$ .

$\frac{1 (1 + x) (1 - 2 x)}{(1 + x) (1 - 2 x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Paso 4.1.4

Cancela el factor común de $1 + x$ .

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Paso 4.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (1 + x) (1 - 2 x)}{(1 + x) (1 - 2 x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Paso 4.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Paso 4.1.5

Cancela el factor común de $1 - 2 x$ .

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Paso 4.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Paso 4.1.5.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Paso 4.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.6.1

Cancela el factor común de $1 + x$ .

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Paso 4.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Paso 4.1.6.1.2

Divide $(A) (1 - 2 x)$ por $1$ .

$1 = (A) (1 - 2 x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Paso 4.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A \cdot 1 + A (- 2 x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Paso 4.1.6.3

Multiplica $A$ por $1$ .

$1 = A + A (- 2 x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Paso 4.1.6.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = A - 2 A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Paso 4.1.6.5

Cancela el factor común de $1 - 2 x$ .

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Paso 4.1.6.5.1

Cancela el factor común.

$1 = A - 2 A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Paso 4.1.6.5.2

Divide $(B) (1 + x)$ por $1$ .

$1 = A - 2 A x + (B) (1 + x)$

Paso 4.1.6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A - 2 A x + B \cdot 1 + B x$

Paso 4.1.6.7

Multiplica $B$ por $1$ .

$1 = A - 2 A x + B + B x$

Paso 4.1.7

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.7.1

Mueve $A$ .

$1 = A - 2 x A + B + B x$

Paso 4.1.7.2

Reordena $B$ y $x$ .

$1 = A - 2 x A + B + B x$

Paso 4.1.7.3

Mueve $B$ .

$1 = A - 2 x A + B x + B$

Paso 4.1.7.4

Mueve $A$ .

$1 = - 2 x A + B x + A + B$

Paso 4.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 4.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = - 2 A + B$

Paso 4.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + B$

Paso 4.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = - 2 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 2 A + B$

$1 = A + B$

Paso 4.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 4.3.1

Resuelve $B$ en $0 = - 2 A + B$ .

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Paso 4.3.1.1

Reescribe la ecuación como $- 2 A + B = 0$ .

$- 2 A + B = 0$

$1 = A + B$

Paso 4.3.1.2

Suma $2 A$ a ambos lados de la ecuación.

$B = 2 A$

$1 = A + B$

$B = 2 A$

$1 = A + B$

Paso 4.3.2

Reemplaza todos los casos de $B$ por $2 A$ en cada ecuación.

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Paso 4.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $1 = A + B$ por $2 A$ .

$1 = A + 2 A$

$B = 2 A$

Paso 4.3.2.2

Simplifica $1 = A + 2 A$ .

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Paso 4.3.2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$1 = A + 2 A$

$B = 2 A$

$1 = A + 2 A$

$B = 2 A$

Paso 4.3.2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.2.2.1

Suma $A$ y $2 A$ .

$1 = 3 A$

$B = 2 A$

$1 = 3 A$

$B = 2 A$

$1 = 3 A$

$B = 2 A$

$1 = 3 A$

$B = 2 A$

Paso 4.3.3

Resuelve $A$ en $1 = 3 A$ .

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Paso 4.3.3.1

Reescribe la ecuación como $3 A = 1$ .

$3 A = 1$

$B = 2 A$

Paso 4.3.3.2

Divide cada término en $3 A = 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.3.3.2.1

Divide cada término en $3 A = 1$ por $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

Paso 4.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

Paso 4.3.3.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

$A = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

$A = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

$A = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

$A = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

Paso 4.3.4

Reemplaza todos los casos de $A$ por $\frac{1}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 4.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $B = 2 A$ por $\frac{1}{3}$ .

$B = 2 (\frac{1}{3})$

$A = \frac{1}{3}$

Paso 4.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.4.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Paso 4.3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = \frac{2}{3}, A = \frac{1}{3}$

Paso 4.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - 2 x}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{1 + x} + \frac{\frac{2}{3}}{1 - 2 x}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{2}{3}}{1 - 2 x}$

Paso 4.5.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{3 (1 + x)} + \frac{\frac{2}{3}}{1 - 2 x}$

Paso 4.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{3 (1 + x)} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - 2 x}$

Paso 4.5.4

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{1 - 2 x}$ .

$\int \frac{1}{3 (1 + x)} + \frac{2}{3 (1 - 2 x)} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{3 (1 + x)} d x + \int \frac{2}{3 (1 - 2 x)} d x$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{2}{3 (1 - 2 x)} d x$

Paso 7

Sea $u_{1} = 1 + x$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 7.1

Deja $u_{1} = 1 + x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 7.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{3 (1 - 2 x)} d x$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{3 (1 - 2 x)} d x$

Paso 9

Dado que $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Paso 10

Sea $u_{2} = 1 - 2 x$ . Entonces $d u_{2} = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 10.1

Deja $u_{2} = 1 - 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Paso 10.1.2

Diferencia.

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Paso 10.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 10.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 10.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 10.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Paso 10.1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Paso 10.1.4

Resta $2$ de $0$ .

$- 2$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Paso 11.2

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 11.3

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 12

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} (- \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2})$

Paso 13

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{2}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 14.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{2}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 14.3

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 14.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 14.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 14.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 14.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 15

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 16

Simplifica.

$\frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 17

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 17.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 + x$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 17.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 - 2 x$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{3} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

Paso 18

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{3} \ln (| 1 - 2 x |) + C$