Cálculo Ejemplos

$f (x) = x \sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int x \sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Paso 3.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Paso 3.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Paso 3.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Paso 3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int x^{\frac{2 + 1}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Paso 3.2.4

Suma $2$ y $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Paso 7

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (3 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

Paso 8

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Paso 8.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 8.3

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 8.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 8.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 8.4.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 8.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 3 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = x \sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{\frac{1}{2}} + C$