Cálculo Ejemplos

$4 x = - 2 y^{2} + x y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (4 x) = \frac{d}{d x} (- 2 y^{2} + x y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 y^{2} + x y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 y^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$- 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2.4

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- 4 y y' + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$- 4 y y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 4 y y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 y y' + x y' + y \cdot 1$

Paso 3.3.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$- 4 y y' + x y' + y$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$4 = - 4 y y' + x y' + y$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $- 4 y y' + x y' + y = 4$ .

$- 4 y y' + x y' + y = 4$

Paso 5.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 y y' + x y' = 4 - y$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $- 4 y y' + x y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de $- 4 y y'$ .

$y' (- 4 y) + x (y') = 4 - y$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $x y'$ .

$y' (- 4 y) + y' (x) = 4 - y$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' (- 4 y) + y' (x)$ .

$y' (- 4 y + x) = 4 - y$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (- 4 y + x) = 4 - y$ por $- 4 y + x$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (- 4 y + x) = 4 - y$ por $- 4 y + x$ .

$\frac{y' (- 4 y + x)}{- 4 y + x} = \frac{4}{- 4 y + x} + \frac{- y}{- 4 y + x}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $- 4 y + x$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- 4 y + x)}{- 4 y + x} = \frac{4}{- 4 y + x} + \frac{- y}{- 4 y + x}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{4}{- 4 y + x} + \frac{- y}{- 4 y + x}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{4 - y}{- 4 y + x}$

Paso 5.4.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 4 y$ .

$y' = \frac{4 - y}{- (4 y) + x}$

Paso 5.4.3.3

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$y' = \frac{4 - y}{- (4 y) - 1 (- x)}$

Paso 5.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (4 y) - 1 (- x)$ .

$y' = \frac{4 - y}{- (4 y - x)}$

Paso 5.4.3.5

Reescribe los negativos.

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Paso 5.4.3.5.1

Reescribe $- (4 y - x)$ como $- 1 (4 y - x)$ .

$y' = \frac{4 - y}{- 1 (4 y - x)}$

Paso 5.4.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{4 - y}{4 y - x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 - y}{4 y - x}$