Cálculo Ejemplos

$y = x \ln (x)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x \ln (x))$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x$ y $g (y) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \ln (y)$ y $g (y) = x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x]) + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x]) + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$x (\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [x]) + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $x$ .

$\frac{x}{x} \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{x} \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.3.3

Multiplica $\frac{d}{d y} [x]$ por $1$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x' + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.5

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x' + \ln (x) x'$

Paso 3.6

Reordena los términos.

$\ln (x) x' + x'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = \ln (x) x' + x'$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\ln (x) x' + x' = 1$ .

$\ln (x) x' + x' = 1$

Paso 5.2

Reordena los factores en $\ln (x) x' + x'$ .

$x' \ln (x) + x' = 1$

Paso 5.3

Factoriza $x'$ de $x' \ln (x) + x'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $x'$ de $x' \ln (x)$ .

$x' (\ln (x)) + x' = 1$

Paso 5.3.2

Eleva $x'$ a la potencia de $1$ .

$x' (\ln (x)) + x' = 1$

Paso 5.3.3

Factoriza $x'$ de ${x'}^{1}$ .

$x' (\ln (x)) + x' \cdot 1 = 1$

Paso 5.3.4

Factoriza $x'$ de $x' (\ln (x)) + x' \cdot 1$ .

$x' (\ln (x) + 1) = 1$

Paso 5.4

Divide cada término en $x' (\ln (x) + 1) = 1$ por $\ln (x) + 1$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $x' (\ln (x) + 1) = 1$ por $\ln (x) + 1$ .

$\frac{x' (\ln (x) + 1)}{\ln (x) + 1} = \frac{1}{\ln (x) + 1}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (x) + 1$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (\ln (x) + 1)}{\ln (x) + 1} = \frac{1}{\ln (x) + 1}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{\ln (x) + 1}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{\ln (x) + 1}$