Cálculo Ejemplos

$\frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$

Paso 1

Escribe $\frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$ como una función.

$f (x) = \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2} d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{4}{x^{2}} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Paso 5

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Paso 6

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Paso 6.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Paso 6.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 \int x^{- 2} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Paso 8

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 \int x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 x^{2} d x$

Paso 10

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 \int x^{2} d x$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica.

$- \frac{4}{x} + x^{2} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Paso 12.2

Simplifica.

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Paso 12.2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} - 3 \frac{x^{3}}{3} + C$

Paso 12.2.2

Combina $- 3$ y $\frac{x^{3}}{3}$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{- 3 x^{3}}{3} + C$

Paso 12.2.3

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 12.2.3.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{3}$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3} + C$

Paso 12.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3 (1)} + C$

Paso 12.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3 \cdot 1} + C$

Paso 12.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{- x^{3}}{1} + C$

Paso 12.2.3.2.4

Divide $- x^{3}$ por $1$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} - x^{3} + C$

Paso 13

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$ .

$F (x) =$ $- \frac{4}{x} + x^{2} - x^{3} + C$